例谈超越方程问题的解题技巧.pdfVIP

1O 数学通讯一～2O14年第 4期(上半月) ·辅教导学 · 例谈超越方程问题的解题技巧 董 干 (江苏省南京市溧水区第二高级中学，211200) 超越方程就是含有未知字母的指数 、对数 、三 (，号)，所以三Y1)，于是 角等运算的方程．由于其形式的超越性 ，求解此类 方程时，一般代数方程的解法往往难 以奏效．本文 c。 一 簿 一 一南 ， 总结此类方程的一些特殊解题技巧，以飨读者． 一 、 利用设而不求思想 sin一 筹 一 一南 ， 方程的根无法逐一求 出也无需求出时，可先 代人 等式 丁cos20+ sin20一 得 设 出方程的根 ，再用之思考、处理问题．此法适用 于求 (证)关于方程 的根的式子的值 (关系)． ： 一_ 兰： 一 1O 。(z。+ Y。) ‘Y。( + Y ) 3( + Y )’ 例 1 (江苏省扬州市 2011届高三上学期期 末)设点P(x0，Yo)是函数Y：tan 与Y一一x(x 整理得 3x 一10xY +3y 一 0，即 3( )一 O)的图象的一个交点，则 ( +1)(cos2x。+1) = 10(x)2+3— 0，解得 (三) 一 3或 ． ● — — — — — Y 0 分析 注意到 目标式中既有三角式又有代数 注意到三 1，因此三 一 式 ，只需将代数式化为三角式 ，再进行三角恒等变 换 即可求值． 三、分析符号法 解 由已知条件可得 。一一tanz。，于是 例 3 (2004年湖南省高 中数学竞赛)方程2 ( + 1)(COS2xo+ 1) +z一1一 7c + (z一1)7c的解集为A(其 中7c = (tan。20+ 1)(COS2x0+ 1) 为无理数 ，7c一3．141…，z为实数)，则A中所有元 ： ( + 1)．2cos2z。 素的平方和等于 ( ) COS。Xo (A)0． (B)1． 一 2(sin。2o+ COS。 o)一 2． (C)2． (D)4． 二、变形转化为代数方程 分析 对原方程作适当变形 ，先将方程右边 对原方程 (组)通过消元 、换元等变形 ，将超越 化为 0、左边化为符号相 同的式子的和的形式 ，再 方程转化为代数方程求解． 利用同号数的性质求解． 例 2 (江苏省苏锡常镇四市 2013届高三二 解 设 Y— 。一 1，则原方程变为 模)已知 ，Y均为正数，0∈(詈，号)，且满足