依概率收敛与依分布收敛的关系.pdfVIP

第 17 卷第 5 期 工　科　数　学 . 17, №. 5 V o l 200 1 年 10 月 JOU RN A L O F M A TH EM A T IC S FOR T ECHN OLO GY O ct. 200 1 依概率收敛与依分布收敛的关系 1 2 3 邹辉文 , 　丁跃武 , 　朱忠华 ( 1 抚州师范专科学校 数学与计算机系, 江西 临川 344000; 　2 安徽省国际信托投资公司, 合肥 230069; 3 东华大学 理学院, 上海 20005 1) 　　[摘　要] 本文探讨了随机变量序列依概率收敛与依分布收敛的关系, 并给出了一个依分布收敛能保证 依概率收敛的最弱的条件, 即: 设分布函数列{F n (x ) }弱收敛于连续的分布函数 F (x ) , 则存在随机变量序列 { }和随机变量 , 它们分别以{ ( ) }和 ( ) 为其对应的分布函数列和分布函数, 且{ }依概率收敛于 . F x F x n n n [ 关键词] 随机变量; 分布函数; 弱收敛; 依概率收敛; 依分布收敛 ( ) [ 中图分类号] O 2 111　　[ 文献标识码] A 　　[ 文章编号] 10074 120 200 1 05004 104 随机变量序列依概率收敛和依分布收敛是概率论中两种较重要的收敛形式, 弄清楚它们之间的关 系在理论和应用上都是有意义的. 本文约定所涉及的随机变量未特别指明时均定义在同一个概率空间 ( , , ) 上, 随机变量 的分布函数定义为 ( ) = ( ) , 其余的记号未加说明时参[2, 3 ]. F P F x P x 定义 1　称分布函数列{ n ( ) }弱收敛于分布函数 ( ) , 如果在 ( ) 的每一个连续点上, 有 n ( ) F x F x F x F x ( ) ( ) → →∞ . F x n 定义 2　设有随机变量序列{ }和随机变量 , 称{ }依分布收敛于 , 如果{ }相应的分布函数列 n n n { ( ) }弱收敛于 的分布函数 ( ) ; 称{ }依概率收敛于 , 如果对于任意的 0, 有 ( - ) F n x F x n P n ( ) →1 n →∞ . 随机变量序列依概率收敛与依分布收敛的关系主要由下述定理表述. 定理 [ 1- 9 ] 　若随机变量序列{ }依概率收敛于某随机变量 , 则{ }依分布收敛于 . A n