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偏斜分布密度函数的提出与推论 1 2 孔建新 ，孔建勇 1 云南驰宏公司会泽技术监督处质量统计组，云南会泽（654211 ） 2 广东省中山市中等专科学校，广东中山（528404. ） E-mail：kongfanjx@163.com 摘 要：在实践中随机变量频数分布一般包括正态分布，近似正态分布和偏斜分布。若用正 态分布来描述近似正态分布必然存在误差，描述偏斜分布误差更大。为了减小误差以精确描 述，需要建立一个既能精确描述正态分布，又能精确描述近似正态分布和偏斜分布的数学模 型。本文以高斯分布原理为依据，提出偏斜分布密度函数并进行推论。以达到精确描述，进 而为解决在偏斜分布的条件下计算其任意区间概率的问题奠定理论基础。 关键词：偏斜分布；密度函数；众数；左标准差；右标准差 中图分类号：0212.2 1. 引言 在现实社会和经济现象的统计过程中，频数分布一般包括正态分布、近似正态分布和偏 斜分布，如果仅用正态分布来描述，带来的问题是存在不同程度的统计误差。为解决这样的 问题需要探索和研究建立一个既能精确描述正态分布，又能精确描述近似正态分布和偏斜分 布的数学模型。国际统计科学界的领军人物范剑青教授说：“统计的最大问题在于模型误差， 局部建模的优点在于可以大大降低误差。”本课题依据高斯分布原理和范剑青教授局部建模 的新理念，研究在单峰的条件下以峰值的众数为线将分布分为左右两个局部，分别进行描述 就能解决降低误差以精确描述的问题。进而为解决在偏斜分布情况下其任意区间概率计算问 题奠定理论基础。 偏斜分布与非正态分布、偏态分布不论在统计范围还是在内涵的意义上是不同的。 从集合的概念来解释非正态分布指的是：除正态分布以外所有的分布，它是一个大范畴 的概念，其包含偏斜分布、偏态分布、均匀分布等等。 偏态分布在一些文献中指的是：如：指数分布、对数分布、泊松分布等一类不对称的分 布，它也包含偏斜分布。 而偏斜分布指的是：在单峰的情况下，以平均数或是众数为中轴两边不对称的分布。 本文以高斯分布的原理为依据提出偏斜分布的概念，同时提出偏斜分布密度函数曲线的 数学公式，并进行推论。 2. 偏斜分布存在的客观必然性 “对于不同的频数分布，平均数、中位数和众数的位置关系是不同的。图 1 是频数分布 呈单峰对称形的情况，这时三者是一致的。当频数分布不对称时，又可以分成两种情况。一 种是所谓正偏斜（右偏斜）的情况，如图 2 所示，此时众数最小，中位数次之，平均数由于 受较大的观测值的影响，位置偏右。图 3 是负偏斜（左偏斜）的情况，这时同正偏斜的情况 正好相反，从小到大的各位置特征分别是平均数，中位数和众数。[1]” 从图示可以清楚地看出，“众数是出现频数最高的位置特征。[2]”平均数是分布的中心。 中位数是分布数列中随机变量按从小到大的次序排列，居于最中间的数。数列中一半的数据 小于等于中位数，一半的数据大于等于中位数。“描述观测值的集中趋势的量称为位置特征， 主要有平均数、中位数和众数三种，它从们之间存在着一定的联系，当频数显示出具有对称 - 1 - [3] 性时，三者是一致的。 ” （见图1） 平均数= 中位数=众数 拐点=平均数、中位数、众数-标准差 拐点=平均数、中位数、众数+标准差 图 1 正态分布 平均数= 中位数=众数示意图 中位数 中位数