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2015年第6期 数学教学 6-29 利用向量处理二面角问题的一种方法 315100 浙江省宁波中学 周 瑜 空间向量方法在处理空间点、直线、平 面之间的位置关系、距离、线线角、线面角问 题上，表现几近完美，但在处理二面角问题时 会遇到如何判断二面角的平面角与两个法向量 夹角的关系问题．本文提出一种判断两法 向量 所成角与二面角的平面角关系的有效策略，而 且形式简单，操作性强，并利用空间解析几何 的相关知识证明了该法的正确性． C 1．提出问题 图2 题 目 (2012年高考浙江卷理科第 20题1 法一 (J司重万法)： 如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为 如图3，以菱形中心0为原点，0 OD所 2、／／3的菱形，ZBAD=120~,且 上平面ABCD， 在直线为双Y轴，建立空间直角坐标系D— PA=2、／／6，M、N分别为船 、P 的中点． xyz，N-,i计算得 Ⅳ、Q的坐标为 _( ， o，o，M(一，一兰，)，Ⅳ(一，兰，)， Q ( )． D C 图1 (1)证明：MN／／平面 ABCD； (2)过点A作 AQA_PC,垂足为点Q，求 图3 二面角 —MⅣ一Q 的平面角的余弦值． = (2 ，0，一1)是平面 M』、r的法向量， 第 (2)小题的解法分析： = (2 ，0，5)是平面Q』 的法向量． 法一(基本几何方法1： 若设二面角 A—MN —Q 的平面角为 0， 如图2，取线段MN的中点E，可证AAEQ NIcos0Ios()I：l }：． 为二面角 ～ Ⅳ一Q的平面角，但解 AAEQ 时计算量较大． 现在的问题是 c。s ： 还是 c。s ： 6— 数学教学 2015年第6期 引理 2 对于二面角 —Z一 (见图4)，若 一 ． 即如何判断0与 (赢， )相等还是互 oo 两个半平面的法向量同时指向二面角内侧或者 补 ? 同时指向二面角外侧，则两法 向量夹角与二面 通常，遇到该问题一般有两种策略． 角的平面角互补；若两个半平面的法向量一个 策略 ①：结合几何图形直观判断二面角 指向二面角内侧，一个指向二面角外侧，则两 为锐角还是钝角； 法向量夹角与二面角的平面角相等f证略)． 策略 ②：两法 向量所成角与二面角平面 角关系确认，即对于二面角 —f～ ，若两个 半平面的法向量同时指向