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应力张量的认识（二） 本文主要是对材料成形相关专业学习过程中对一些问题的思考，也许并不深刻，但却是自己从初学时的迷惑到后来逐渐认识的过程。相关还有：Levy-Mises理论的思考 应力张量的基础知识参见应力张量的认识（一） 相似矩 通过基础知识我们已经认识到，应力张量代表点的应力状态，它不依赖于坐标系的选取，并且对应着同一主应力状态。 用矩阵的观点理解为： 同一点的应力张量矩阵是相似矩阵，并且可以对角化。 然而问题是为什么会这样？ 我们可以这么理解，同一点不同截面下的应力张量描述的都是相同的应力状态，因此他们有着内在的联系（例如满足静力平衡方程）。 由切应力互等定律可知应力张量矩阵是实对称矩阵，由矩阵论可知实对称矩阵必定可以对角化，即不同截面应力张量对相似于一个主应力张量；而同一点的主应力状态是确定的。于是由相似矩阵的传递性可知，不同截面下的应力张量矩阵是相似的。 线性变 从应力张量是相似矩阵再进一步——相似矩阵的本质是同一线性变换在不同基下表示的矩阵，我们就可以从更根本的角度看待应力张量了： 应力张量代表一个线性变换！ 这是一个抽象的认识，或者说是从相似矩阵推论出来的。那么接下来让他具体化： 从前面已经知道，利用三个相互垂直的截面截取一点P，将各个截面上的所有应力分量组成一个整体的物理量——应力张量。以这三个截面的法线方向为正方向建立笛卡尔坐标系，如下图所示。 那么对于任意法向为n=(n1,n2,n3)截面，可以得到面上作用的应力分量 将上式改写成矩阵表达式 其中， 根据线性变换与矩阵的一一对应的关系，可知应力张量代表一个线性变换（确切的说是线性映射）—— 应力张量将截面位置映射到截面应力。 数学表述为： U是截面方向余弦组成的线性空间，V是截面应力作成的线性空间。 举例说 下面说明这个线性映射是如何与力学描述相一致的。 前面多次提到，用三个互相垂直的截面截取P点，并以其法向建立笛卡尔坐标系。这样的截面有无数多对，这样的坐标系也有无数多个。为了区分他们，可以先确定一个全局坐标系S:Oxyz，这样就可以描述其他任意的坐标系S’:O’xy’z了，也就是局部坐标系。 如何确定呢？ 采用局部坐标系的坐标轴方向在全局坐标系下的方向余弦列向量来描述。 例如，局部系x轴方向在全局坐标系下的方向余弦向量为 那么局部系S’可以描述为 这就是局部系在全局坐标系空间下的基。 在局部坐标系内，任意截面同样用方向余弦列向量来描述，例如 这就是任意截面在局部坐标系下的坐标。 对于截面上的应力分布，也是一样的情况。他的坐标系方向是一致的，坐标的描述也是类似的，只是属于不同的空间而已。 这样力学描述和数学描述是相互统一的： 力学描述 用任意相互垂直的三个平面截取P点，以截面法向为正方向建立笛卡尔坐标系，得到三个截面上的应力分布的组合——应力张量。以此为基础，可以求得这个坐标系下任意其他截面上的应力分布。 数学描述 任意给定一组基后，可以用坐标描述截面位置（方向余弦列向量）及截面应力（应力分量列向量）。在这组基下，存在一个线性变换，将截面位置映射到截面应力。 上面两段话中，相同的颜色显示了对应关系。 总 这一部分从相似矩阵到线性变换的角度来认识、分析应力张量——应力张量是从截面位置到截面应力的线性变换对应的矩阵。