构造法在解不等式的应用_全应毅.pdfVIP

湛江日报/2010 年/7 月/20 日/第 A08 版 师生园地 构造法在解不等式的应用 湛江市草苏学校 全应毅 解数学题的过程，就是把未知条件转化成已知条件的过程，而构造法就是实现这种转化过程 的重要手段之一，它能使已知与未知，条件与结论建立联系，使本来模糊不清的关系豁然开朗， 层次分明。对于比较复杂，很难下手的问题，构造一个与它有关的辅助命题，借以沟通“条件” 和“结论”，从而使问题得以解决。因此，构造法在解决数学题目时起到了简化、转化之桥梁作 用。 构造思想是数学思想中一种基本的思想，而构造法是数学中一种十分重要的和基本的方法。 不等式是数学的一个重要内容，特别是不等式的证明，比较常用的方法有:综合法、分析法、反正 法、归纳法等。构造思想在解决不等式问题中也起到举足轻重的作用。下面通过举例说明构造法 在解决不等式问题中的应用。 1.构造函数解不等式 我们常利用一次函数的线性性质，二次函数的最值以及函数的单调性等性质来解某些不等式 问题。 例 1.设 x0 ，求证:In(1+x)x-1/2x2 证明:令 f(x)=In(1+x)-x+1/2x2 ，则 2 f(x)=1/(1+x)-1+x=x /(1+x) ， 显然，当 x-1 时，f(x)0，这说明 f(x)在(-1，+ ∞) 内为严格增函数。 因此，当 x0 时，f(x)f(0)=0，即 In(1+x)-X+1/2x2O 。 故 In(1+x)x-1/2x2(x0) 。 有些不等式若用初等方法来解决，往往会出现复杂的运算过程。但是根据题目的特点巧妙地 构造一个函数，在构造函数的背景下运用函数的单调性，将不等式问题转化为我们耳熟能详的函 数问题来研究，就会得到简捷的证明。所以在处理某些不等式问题时要善于利用函数的性质来开 拓思路，转化问题的焦点，寻找解题的最优方法。 2 、构造方程解不等式问题 解不等式的实践说明，不等式的解区间的端点就是它相应方程的解，利用这种内在联系可以 设法构造方程来证明不等式。 例 2.设实数满足 求证:1≤a≤9 。 证明: 由已知得 符合一元二次方程根与系数的关系，构造方程。 第 1 页 共 3 页 2 2 x ±(a-1)x+a -8a+7=0 。 ∴方程有两个实根 b,c 。 ∴△=[ ±(a-1)2 2 2 -4(a -8a+7) ≥0，即 a -10a+9≤0， ∴1≤a≤9 。 我们遇到题目无从下手、思路受阻时，先把问题简单化，通过变形发现，它具有二次方程根 与系数的关系或判别式的形式，那么就可以构造一个二次方程来解决问题。从而得到一个巧妙、 简洁的解答。所以我们在解决不等式问题中要善于观察、善于发现其中关系，不墨守成规。 3.构造几何图形解不等式问题 数形结合是一种很常用的解题法，一些不等式问题若能发现其几何意义，合理巧妙地构造图 形，则可达到事半功倍的效果。 例 3.设 x ，y ，zE(0 ，1)， 求证:x(1-y)+Y(1-z)+z(1-x)1 分析:如果直接由条件证，很难实现解题目标，可以思考到六个正数: x 、(1-y)、y 、(1-z)、z 、(1-x)， 依次划分为两数之积之和的形式，给我们以线段之积之和的形象，因而可构造一个边长为 1 的正△ABC ，并分别在边BC 、CA、AB 上截取 BD=x2 ，CE=z，AF=y ，如下图。 于是问题可还原到研究特殊三角形的性质上来。 证明:如图 1 ∵S△BCS△BDF+S△DCE+S△AEF ∴1 ·1 ·sin60°x(1-y)sin60 °+y(1-z)sin60 °+z(1-x)sin60 °， 整理得 x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)1 。 数与形是一个问题的两个方面，数无形不直观，形缺数难入微。数形结合有助于找到解答思 路，也常使解答简捷。构造图形的关键在于能将不等式的问题蕴涵的几何图形、几何意义进行抽