构造辅助函数初探.pdfVIP

第 10朝 高中数学教与学 。解题思路与方法。 构造辅助函数初探 刚 (四川省蓬溪中学校 ，629100) 构造辅助 函数是一种富有创造性的方 (或两边)的代数式整体看着某个变量的函 法，它很好地体现了数学中发散、类比、化归 数，运用整体代换法 (或局部代换法)，构造一 的思想，也渗透着猜想、试验 、探索、概括 、特殊 个或多个辅助函数．也可根据研究的需要，在 化的思想．构造辅助函数对函数概念的理解 不同的过程 中运用分步代换法，多次构造不 和应用方面都有一定的要求，方法性强，对能 同的辅助函数，把不是函数 的问题化归为函 力要求高，是函数思想的重要体现，在高考中 数问题，利用函数的性质解决． 经常考查，是高考考查的重要思想方法之一． 例2 (2007年全国高考题)已知 函数 本文将探讨中学构造辅助函数的常见方法． ／ )= 一 ． 一 、 拟值构造法 (1)求曲线Y= )在点M(t t))处 根据题 目的题设条件及结论 的结构特 的切线方程； 点，把具有形式上的某种相似的代数式当作 (2)设a0，如果过点(a，b)可作曲线Y 函数的不同函数值，构造函数． = )的三条切线，证明：一a6 a)． 例1已知，Y∈[一詈，,TI】，。eR，且 分析 (1)解略．切线方程为 Y= (3t一1) 一2t． X ~-sin 一 2口=0’ (2)如果有一条切线过点(a，b)，则存在t 1 1 I4)，+÷sin2)，+Ⅱ=0， 使b=(3t一1)a一2t成立．于是，若过点(a， b)可作曲线Y=I厂()的三条切线 ，则方程2￡ 求COS(+2y)的值． 分析 将原方程组变形为 一 3at+a+b=0有三个相异的实数根． 构造函数g(t)：2t一3at+a+6，贝U J +sin =2Ⅱ， g(t)=6t一6at=6t(t—a)． L(一2y) +sin(一2y)=2a， 当t变化时，g(t)，g(t)的变化情况为：t 对比两方程，把方程组左边视作函数，(t)=t ∈(一∞，0)时，g(t)0，g(t)单调增；f∈ +sint在t= ，t：一2时的函数值．构造函数 (0，a)时，g(t)0，g(t) 调减；f∈ (a， f)=f+sin￡，则f)在f[一号，-TI】时 + )时，g(t)0，(t)单调增；故取得极大 单调增加，又，一2y∈一【詈，詈]且 )= 值g(o)=a+b，极小值g(a)=b一 a)． 由g(t)的单调性知