GCT 数学 第04章代数方程.pdf

2011GCT 讲义 第四章 代数方程和简单的超越方程 本章重点内容 一元二次方程的根的判别、求根公式，根与系数的关系，一元二次方程的解法。 §4.1 一元二次方程 一元二次方程的形式：ax2 +bx +c 0 ，(a ≠0,a,b,c ∈R) ， 1. 解法：ax2 +bx +c 0 −b + b2 −4ac − − 2 − b b 4ac (1) 公式法：求根公式：x , x 。 1 2 2a 2a (2) 分解因式法 b 2 b2 −4ac (3) 配方法：(x + ) 2 。 2a 4a 2. 根的判别：判别式：Δ b2 =−4ac ， a) 若Δ0 ，方程有两个不相等的实根； b) 若Δ 0 ，方程有一个实根(重根，两个相等实根) ； c) 若Δ0 ，方程没有实根(有两个共轭复根) 。 ⎧ b x +x =− 3. 根和系数的关系 (韦达定理) ：ax2 +bx +c 0 的根x , x 满足： ⎪⎪1 2 a 1 2 ⎨ ⎪ c x ⋅x ⎪⎩1 2 a 注：对于复系数一元二次方程，韦达定理仍然成立，但不能再用判别式来判断有无实根。 4. 二次函数的图像和一元二次方程的根 ax2 +bx +c 0 , 设f (x ) ax 2 =+bx +c 。 图像：抛物线。 (1) 若b2 −4ac 0 ，y f (x ) 的图像与x 轴有两个交点，交点横坐标是方程的两个不 同实根； (2) 若b2 −4ac 0 ，y f (x ) 的图像与x 轴只有一个交点(切点) ，切点横坐标是方程 的重根； 2 (3) 若b −4ac 0 ，y f (x ) 的图像与x 轴无交点，方程无实根。 中科院研究生院2011 年7 月 41 2011GCT 讲义 典型例题 例4.1.1 解方程x 2 +x −6 0 。 −1+ 1−4×−( 6) −1+5 −−1 1−4×−( 6) −−1 5 解1 (公式法) ：x1 2 , x2 −3. 2 2 2