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2009年高考江苏卷第18题的探源、别解与推广.pdf
42 中学数学教学 2009年第6期
200
9年高考江苏卷第1
8题的探源、别解与推广
江苏省南京师范大学附属附中 芮 强 吴兆甲 (邮编:210003)
2009年高考数学江苏卷I第18题如下:背景:
考题1 在平面直角坐标系,roy中,已知圆 考题2(2005年
Cl:(z+3)2+(y一1)2—4和圆C2:(z一4)2+江苏卷第19题)如图
(3,一5)2—4,设P为平面上的点,满足:存在过点1,圆01与圆02的半径
P的无穷多对互相垂直的直线z。和l。,它们分别 都是】,o02—4。过动
与圆C。和圆C2相交,且直线l。被圆C。截得的弦点P分别作圆0,、圆
长与直线z。被圆c2截得的弦长相等,试求所有 02 的切线PM, 图l
满足条件的点P的坐标. PN(M,N分别为切点),使得PM一√2PN.试建
高考标准解答如下: 立适当的坐标系,并求动点P的轨迹方程.
解 设点P(a,6)满足条件,不妨设直线1,
的方程为Y—b—k(x一口),志≠0,则直线l:的方
2,AC一√2BC,求s△AB。.的最大值.
程为y—b=一÷(x--a).因为圆c,和C2的半径这类考题其实都蕴藏着一个数量关系式
相等,及直线z。被圆C,截得的弦长与直线z。被 涮--;tQ:o,A是定值),考题1中的数量关系
圆Cz截得的弦长相等,所以圆C,的圆心到直线
l-的距离和圃Cz的圆-fl到直线l:的距离相等,即
式是}_引=1,其中cl,G分别是两圆的圆一fl,.
l 1
2 考题背景
5+专@一曲一6
1~志(一3一口一6)I—I
其实这类考题有一个有趣的古老的几何背
~/1+忌2 /1 1
√1。矿
整理得I1+3忌+旋一6I=I5忌+4一n一趺I,190)圆.
-定理 已知点B,
从而l+3足+旋一6—5k+4一n一城或1
+3忌+破一b=一(5k+4~口一掀), c满足蹦一撇
即(n+6—2)k—b一口+3或(口一b+8)k=
o,A是定值)的点M占
口+b一5,
的轨迹是:
因为七的取值有无穷多个, 所以
当A一1时,轨迹显 图2
f口+b一2—0,4f口一b+8=0,
然是线段BC的垂直平分线;
lb一口+3—0,“\n+b一5=0,
当A≠1时,设P在线段BC内部,Q在线段
Ⅱ 一 BC的延长线上(A1,Q在B的右边,J:【1,Q在
眯之或r●●,‘,l●L 6一 戌籼胜c的拙撇爿一斟--1,P,蝴。
称为内分点、外分点,以PQ为直径作圆,这圆就
o 检验符合题意.
P。(专,一i1)或P2(一3—2 堡2 31萼净 是所求的轨迹.该圆也称为阿波罗尼圆.
以上的解法突出解析几何的本质,用代数法
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