2009年高考江苏卷第18题的探源、别解与推广.pdf

42 中学数学教学 2009年第6期 200 9年高考江苏卷第1 8题的探源、别解与推广 江苏省南京师范大学附属附中 芮 强 吴兆甲 (邮编：210003) 2009年高考数学江苏卷I第18题如下：背景： 考题1 在平面直角坐标系,roy中，已知圆 考题2(2005年 Cl：(z+3)2+(y一1)2—4和圆C2：(z一4)2+江苏卷第19题)如图 (3，一5)2—4，设P为平面上的点，满足：存在过点1，圆01与圆02的半径 P的无穷多对互相垂直的直线z。和l。，它们分别 都是】，o02—4。过动 与圆C。和圆C2相交，且直线l。被圆C。截得的弦点P分别作圆0，、圆 长与直线z。被圆c2截得的弦长相等，试求所有 02 的切线PM， 图l 满足条件的点P的坐标． PN(M，N分别为切点)，使得PM一√2PN．试建 高考标准解答如下： 立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程． 解 设点P(a，6)满足条件，不妨设直线1， 的方程为Y—b—k(x一口)，志≠0，则直线l：的方 2，AC一√2BC，求s△AB。．的最大值． 程为y—b=一÷(x--a)．因为圆c，和C2的半径这类考题其实都蕴藏着一个数量关系式 相等，及直线z。被圆C，截得的弦长与直线z。被 涮--；tQ：o，A是定值)，考题1中的数量关系 圆Cz截得的弦长相等，所以圆C，的圆心到直线 l-的距离和圃Cz的圆-fl到直线l：的距离相等，即 式是}_引=1，其中cl，G分别是两圆的圆一fl,． l 1 2 考题背景 5+专@一曲一6 1～志(一3一口一6)I—I 其实这类考题有一个有趣的古老的几何背 ~／1+忌2 ／1 1 √1。矿 整理得I1+3忌+旋一6I=I5忌+4一n一趺I，190)圆． -定理 已知点B， 从而l+3足+旋一6—5k+4一n一城或1 +3忌+破一b=一(5k+4～口一掀)， c满足蹦一撇 即(n+6—2)k—b一口+3或(口一b+8)k= o，A是定值)的点M占 口+b一5， 的轨迹是： 因为七的取值有无穷多个， 所以 当A一1时，轨迹显 图2 f口+b一2—0，4f口一b+8=0， 然是线段BC的垂直平分线； lb一口+3—0，“＼n+b一5=0， 当A≠1时，设P在线段BC内部，Q在线段 Ⅱ 一 BC的延长线上(A1，Q在B的右边，J：【1，Q在 眯之或r●●，‘，l●L 6一 戌籼胜c的拙撇爿一斟--1,P,蝴。 称为内分点、外分点，以PQ为直径作圆，这圆就 o 检验符合题意． P。(专，一i1)或P2(一3—2 堡2 31萼净 是所求的轨迹．该圆也称为阿波罗尼圆． 以上的解法突出解析几何的本质，用代数法