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2014年高考新课标Ⅰ卷(文)第20题的解法探究及推广.pdf
2015年第1期 中学数学研究 ·33·
2014年高考新课标I卷(文)第20题
的解法探究及推广
福建省南安市国光第二中学 (362321)黄清波
题目 已知点P(2,2), y。 | ……JF
7。一删
圆C:戈2+y2—8y=0,过点P 一篇一南Ⅲ删=爱,因为‰y1+y,一82,,一8’”。¨朋 z一2’H
N
的动直线z与圆c交于A,B两
一一……
点,线段AB的中点为M,D为
坐标原点. 够. 一3)2=2,其他同解法1. 。
(I)求M的轨迹方程; 0 |4 1 点评:此法是设直线与圆的交点(弦的端点)坐
标,将这两点代入圆的方程并对所得两式作差,得到
DPl=IDM
(Ⅱ)当I
图1 一个与弦的中点和斜率有关的式子,大大减少运算
时,求f的方程及△PO肘的面
积. 量,且思路清晰.
分析:本题源于《普通高中课程标准实验教科
心C,则点C的坐标为(O,4).设M(戈,,,),当点C与
书·数学2—1(选修)》(人教A版)中第37页习题
2.1的A组第4题:过原点的直线与圆戈2+y2—6石+
5=0相交于A、B两点,求弦AB的中点M的轨迹方
程.主要考查直线与圆的综合问题,考查运算求解能
力,考查数形结合思想、化归与转化思想,难度适中.
对于这道题,若能调动所学知识,从不同的视角进行
思考,也能探索出多种解法.
1.
1 解法集萃
(I)解法1:(参数法)设直线z的方程为戈一2点评:此法巧妙地利用圆的几何性质,将中点轨
迹问题转化为垂直问题,应用向量知识直接得到了
=m(y一2),且A(并1,),1),B(菇2,y2),M(戈,y).由
轨迹方程.
|2_m(y一2),消如得,(mz+1)),z+(4m—
L菇‘+),‘一8y=0,
0的圆心C,则点C的坐标为(O,4).设肘(算,y),当点
4m2—8)),+4m2—87n+4:o,.·.),:半:
C与点M不重合时,△CPM是直角三角形.由勾股定
理得JC膨I2+J卿I2=JCP2,得石2+(),一4)2+
。一”‘、, ‘7’
笔掣:2+等鲁,结合茗一2:m(,,一2),
一。。m2+1’筇口“
2(m2+1)
消去参数m整理得,菇2+),2—2省一6y+8=0,即(艽
一1)2+(),一3)2=2,由两圆的位置关系知其内含
于圆c内.故肘的轨迹方程为(茗一1)2+(,,一3)2=
1.
2.
点评:此法基于图形中所隐藏的直角三角形,利
点评:此法是选择恰当的参数描述动点坐标所
用这一几何特征使过程变得简捷.
适合的等量关系,消去参数
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