Hilbert空间方法在半线性方程上的应用.pdf

第22卷第1期 阜阳师范学院学报(自然科学版) V01．22．No．1 Jour腿1of Teachers Science) March2005 2005年3月 Fuyang college(Natural Hilbert空间方法在半线性方程上的应用 牛 欣 (阜阳师范学院数学系，安徽阜阳 236032) 有效地解决了如下方程解的存在性Lu—c(u，o)u=f(u)．其中L是线性自伴算子，C(u，O)是非线性的并满足与L 的谱有关的一系列条件，同时突破了文[1]中非共振条件中两个常数p，q的限制及文[2]中类似的限制条件，从而推 广了文[1，2]的结论． 关键词：Hilbert空间方法}嵌入定理；Schauder不动点定理． 中图分类号：0175 文献标识码：A 文章编号；1004—4329(2005)01一0027一03 1背景介绍 的自伴算子；LoJ也是日上自伴的，为简化记号， 我们首先考虑如下形式的非线性方程： 下面用L来代替．再设日”上有两个自伴算子A，B， L“一N“一厂(“) (1．1) 分别具有特征值q≤口2≤…≤％和p1≤忽≤… 设H是(实或复)的Hilbert空间，内积记为 ≤凤．同时相应的正交化的特征向量{口。)Z，。和 (·，·)，范数记为1．I．L：D(L)cH—日是一个线 {巩}：。。构成H”的基底，且使得C满足： 性自伴算子，具有谱盯(L)．设映射Ⅳ：日一日有 ，oA≤C≤，@召 (1．3) Gateaux导数Ⅳ’(配)∈B(H)：H上的有界线性算子 若对所有的“，口∈日1，Ⅳ：H，一日满足 的空间；且使得对所有的龆∈H，Ⅳ’(“)是自伴的． №一Ⅳ口=C(“，口)(弘一口)(1．4) 在本文中，让D(Ⅳ)[日，，H，，H。在各自的范数其中映射c：日，o日，一召(日)对一切“∈日。满足 |．I，，I．I。下成为Hilbert空间，日1连续嵌入日，日2 连续紧嵌入H。，且有I·I。≤I．Iz ^ 方程(1．1)解的存在与唯一的问题可以通过不 有界，(1．1)在H里至少有一个解． 同的途径去研究．那么所谓的Hilbert空间方法是一 种重要且具有创见性的一种方法，引起了一些学者 PⅣ在一个特殊情况下 就像．；Iz‘，所以易得L一|Ⅳ是可逆的．在文[2]中，然 的兴趣．在文[1]中，Bates 而算子Ⅳ的身份就像一个与盯(L)具有有限的网格 给出了抽象的Hilbert空间方法，即令Ⅳ“=^(“)“， 特征值的自伴算子(但是不相交)．一般情况下，我们 其中^：日。一B(日)连续，且对每一个扰∈H。，^(犯) 自伴，且存在两个常数户，g，使得： 不能希望L一Ⅳ是可逆的．但是在文[2]的条件下， 户≤^(“)≤g (1．2) 间中，所以不可能相交．于是可以得出如上的结论． 如果[p，口]n口(L)一万且厂：H。一H有界，那么文 [1]得出结论：(1．1)在H，nH。里至少有一个解． 本文的目的在于比文[2]更宽松的条件下，建立 在文[2]中，同一位作者推广了