【名师课堂】2015-2016学年高二人教A版数学选修2-1练习：3.1.3空间向量的数量积运算 含答案.docVIP

3.1.3　空间向量的数量积运算 课时演练·促提升 A组 1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=(　　) A.0 B.- C.-1 D.1 解析:=||·||·cosD1AC=×cos 60°=1. 答案:D 2.若a,b均为非零向量,则“a与b共线”是“a·b=|a||b|”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:当a与b共线时,a与b可能同向,也可能反向,因此不一定有a·b=|a||b|;但当a·b=|a||b|时,a与b一定同向,即a与b共线. 答案:B 3.已知a,b均为空间中的单位向量,它们的夹角为60°,那么|a+3b|等于(　　) A. B. C. D.4 解析:|a+3b|2=|a|2+6a·b+9|b|2=1+6×1×1×cos 60°+9=13,故|a+3b|=. 答案:C 4.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,体对角线AC1和BD1相交于点O,则有(　　) A.=2a2 B.a2 C.a2 D.=a2 解析:,∴=a×a×cos 45°=a2,故A不正确. =||·||cos =||·||=a2,故B不正确. a2,故C正确. =-a2,故D不正确. 答案:C 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面的中心,则AC1与CE的位置关系是(　　) A.重合 B.垂直 C.平行 D.无法确定 解析:),于是=()·=0--0+0-0-+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直. 答案: B 6.在空间四边形OABC中,OB=OC,AOB=∠AOC=,则cos等于(　　) A. B. C.- D.0 解析:cos= = ==0. 答案:D 7.已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为60°,则(a+b)·(a-2b)=　　　　.? 解析:(a+b)·(a-2b)=a2-2a·b+b·a-2b2=|a|2-a·b-2|b|2=12-1×1×cos 60°-2×12=-. 答案:- 8.如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,AD=2,AA1=3,BAD=90°,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1的长为　　　　　.? 解析:因为, 所以||2=()2 =||2+||2+||2+2() =1+4+9+2=23, 故AC1的长为. 答案: 9.已知在空间四边形OABC中,AOB=∠BOC=∠AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OGBC. 证明:如图,连接ON,设AOB=∠BOC=∠AOC=θ,=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|. ) = =(a+b+c), =c-b, ∴(a+b+c)·(c-b) =(a·c-a·b+b·c-b2+c2-b·c) =(|a|2cos θ-|a|2cos θ-|a|2+|a|2)=0, ∴OG⊥BC. 10.如图,BB1平面ABC,且△ABC是B=90°的等腰直角三角形,ABB1A1,?BB1C1C的对角线都分别相互垂直且相等,若AB=a,求异面直线BA1与AC所成的角. 解:因为=()·() = =0-a2+0+0=-a2, 且||=a,||=a, 所以cos= ==-. 所以的夹角是120°, 故直线BA1与AC所成的角为60°. B组 1.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=4,则a与b的夹角为(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 解析:a+b+c=0,∴a+b=-c. ∴(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=|c|2. ∴a·b=.∴cosa,b=. 答案:D 2.设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则△BCD是(　　) A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.不确定 解析:=()·()=0, 同理,可证0,0. 所以△BCD的每个内角均为锐角,故△BCD是锐角三角形. 答案:B 3.在三棱锥O-ABC中,OAOB,OA⊥OC,∠BOC=60°, OA=OB=OC=2,若E为OA中点,F为BC的中点,则EF=　　　　　.? 解析:)-, ∴||2=)2=+2-2-2). 又由已知得||=||=||=2, =2×2×=2, ||2=(4+4+4+4)=4. ∴||=2,即EF=2. 答案:2 4.如图,已知正四面体ABCD中,AE=AB,CF=CD,则直线DE和BF所成角的余弦值为　　　　　.? 解析:因四面体ABCD是正四面体,顶点A在底面BCD内的射影为△BCD的垂心,所以BCDA,AB⊥CD. 设正四面体的棱长为4,则=()·()=0++0=4×1×cos 120°+1×4