【名师课堂】2015-2016学年高二人教A版数学选修2-1练习：3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示 含答案.docVIP

3.1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示 课时演练·促提升 A组 1.下列说法中正确的是(　　) A.任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 B.不共面的三个向量就可构成空间的单位正交基底 C.单位正交基底中的基向量模为1且互相垂直 D.不共面且模为1的三个向量可构成空间的单位正交基底 解析:单位正交基底中的三个向量必须是模等于1,且两两垂直,因此只有选项C正确. 答案:C 2.设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且{a,b,c}是空间的一个基底,给出下列向量组:{a,b,x},②{x,y,z},③{b,c,z},④{x,y,a+b+c},其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:如图,令a=,b=,c=, 则x=,y=,z=,a+b+c=. 由A,B1,C,D1四点不共面,可知向量x,y,z也不共面,同理b,c,z和x,y,a+b+c也不共面,故选C. 答案:C 3.已知空间四边形OABC,M,N分别是OA,BC的中点,且=a,=b,=c,用a,b,c表示向量为(　　) A.a+b+c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a+b-c 解析:如图,b+c-a=-a+b+c. 答案:C 4.已知向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则向量p在基底{i,j,k}下的坐标是(　　) A.(12,14,10) B.(10,12,14) C.(14,12,10) D.(4,3,2) 解析:=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k. 答案:A 5.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　) A. B. C. D. 解析:如图,由已知 =) =)] =[()+()] =, 从而x=y=z=. 答案:A 6.设命题p:{a,b,c}为空间的一个基底,命题q:a,b,c是三个非零向量,则命题p是q的　　　　　　　　条件.? 解析:若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c一定不共面.故a,b,c中一定没有零向量;但当a,b,c是三个非零向量时,却不一定不共面,不一定能作为一个基底. 答案:充分不必要 7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=　　　　　.? 解析:如图,) =)=-a+b+c. 答案:-a+b+c 8.已知i,j, k是空间直角坐标系Oxyz的坐标向量,并且=-i+j-k,=3i-2j-4k,那么的坐标为　　　　　.? 解析:因为=(-i+j-k)-(3i-2j-4k)=-4i+3j+3k,所以=(-4,3,3). 答案:(-4,3,3) 9.如图,四棱锥P-OABC的底面为一矩形,设=a,=b,=c,E,F分别是PC和PB的中点,用a,b,c表示. 解:)=)=-a-b+c. =- =-)=-a-b+c. 10.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为2的正方体,E,F分别是BB1和DC的中点,试找出空间的一个基底,并写出向量在此基底下的坐标. 解:易知{}为空间的一个基底. =-, 所以的坐标为. =-, 所以的坐标为. , 所以的坐标为. B组 1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为1,三棱柱的高为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量对应坐标正确的是(　　) A.=(0,0,-2) B. C.=(0,1,2) D. 解析:设与方向相同的单位向量为i,j,k, 则i,j,=2k,故=2k,从而=(0,0, 2),故A不正确. i-j, 即,故B不正确. j+2k,即,故C不正确. =-=-i-j+2k,即,故D正确. 答案:D 2.三棱锥P-ABC中,ABC为直角,PB平面ABC,AB=BC=PB=1,M为PC的中点,N为AC的中点,以{}为基底,则的坐标为　　　　　.? 解析:如图,)-)=,故. 答案: 3.如图,已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AD=1,建立适当的坐标系,并写出的坐标. 解:PA=AD=AB,PA⊥平面AC,ADAB, ∴可设=e1,=e2,=e3. 以e1,e2,e3为单位正交基底建立空间直角坐标系,如图. =) =-e2+e3+(-e3-e1+e2) =-e1+e3, ∴=(0,1,0). 4.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=2e1-e2+3e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3. (1)判断P,A,B,C四点是否共面; (2)能否以{}作为空间的一个基底