【名师课堂】2015-2016学年高二人教A版数学选修2-1练习：3.2.2用向量方法解决垂直问题 含答案.docVIP

第二课时　用向量方法解决垂直问题 课时演练·促提升 A组 1.若直线l的方向向量为(2,1,m),平面α的法向量为,且lα,则m的值为(　　) A.1 B.2 C.4 D.-4 解析:l⊥α, ∴l的方向向量与平面α的法向量共线. (2,1,m)=λ,解得m=4. 答案:C 2.已知平面α内有一个点M(1,-1,2),它的一个法向量为n=(6,-3,6),则下列点P中,在平面α内的是(　　) A.P(2,3,3) B.P(-2,0,1) C.P(-4,4,0) D.P(3,-3,4) 解析:因为n=(6,-3,6)是平面α的一个法向量,所以它应该和平面α内的任意一个向量垂直,只有在选项A中,=(2,3,3)-(1, -1,2)=(1,4,1),·n=(1,4,1)·(6,-3,6)=0,所以点P在平面α内. 答案:A 3.在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是(　　) A.=0 B.=0 C.=0 D.=0 解析:PA⊥平面ABCD,BD⊥PA. 又AC⊥BD,∴PC⊥BD. 故选项B正确,选项A和D显然成立.故选C. 答案:C 4.如图,设a为正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点确定的平面A1BD的一个法向量,则(　　) A.a B.a⊥ C.a与相交但不垂直 D.a与不共面 解析:由于AC1平面A1BD,即也是平面A1BD的一个法向量,因此必有a. 答案:A 5.平面α与平面β的法向量分别是m,n,直线l的方向向量是a,给出下列论断: m∥n?α∥β;②m⊥n?α⊥β; ③a⊥m?l∥α;④a∥m?l⊥α. 其中正确的论断为　　　　　(把你认为正确论断的序号填在横线上).? 解析:中α与β还有可能重合;正确;中l有可能在α内. 答案: 6.若正三棱锥P-ABC侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为　　　　　.? 解析:设高为h,底边长为1,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P(0,0,h),A,B,C,得平面PAB,PAC的法向量分别为,则3-9+=0,解得h=. 故高与底面边长之比为6. 答案:6 7.如图,已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACBC,D为AB的中点,AC=BC=BB1. 求证:(1)BC1AB1; (2)BC1∥平面CA1D. 证明:如图,以C1点为原点,分别以C1A1,C1B1,C1C所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设AC=BC=BB1=2,则A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2). (1)由于=(0,-2,-2),=(-2,2,-2), 因此=0-4+4=0,因此, 故BC1AB1. (2)取A1C的中点E,连接DE,由于E(1,0,1), 所以=(0, 1,1), 又=(0,-2,-2), 所以=-. 又ED和BC1不共线,所以EDBC1. 又DE?平面CA1D,BC1?平面CA1D,故BC1平面CA1D. 8.如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,CEAC,EF∥AC,AB=,CE=EF=1. 求证:(1)AF平面BDE; (2)CF平面BDE. 证明:(1)设AC与BD交于点G. EF∥AG,且EF=1,AG=AC=1, 四边形AGEF为平行四边形,AF∥EG. ∵EG?平面BDE,AF?平面BDE, AF∥平面BDE. (2)连接FG. 正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直,且CEAC,∴CE⊥平面ABCD. 如图,以C为原点,CD,CB,CE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则C(0,0,0),A(,0),B(0,,0),D(,0,0),E(0,0,1),F,=(0,-,1),=(-,0,1), ∴=0-1+1=0,=-1+0+1=0. ∴,∴CF⊥BE,CF⊥DE. 又BE∩DE=E,∴CF⊥平面BDE. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BC的中点,试在棱CC1上求一点P,使得平面A1B1P平面C1DE. 解:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为1,P(0,1,a),则A1(1,0,1),B1(1,1,1),E,C1(0,1,1),=(0,1,0),=(-1,1,a-1),=(0,1,1). 设平面A1B1P的一个法向量为n1=(x1,y1,z1), 则 令z1=1,得x1=a-1,n1=(a-1,0,1). 设平面C1DE的一个法向量为n2=(x2,y2,z2), 则 令y2=1,得x2=-2,z2=-1,n2=(-2,1,-1). ∵平面A1B1P⊥平面C1DE, ∴n1⊥n2,即n1·n2=0. -2(a-1