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第三课时 用向量方法求空间中的角
课时演练·促提升
A组
1.已知A(0,1,1),B(2,-1,0),C(3,5,7),D(1,2,4),则直线AB和直线CD所成角的余弦值为( )
A. B.-
C. D.-
解析:=(2,-2,-1),=(-2,-3,-3),而cos????=,故直线AB和CD所成角的余弦值为.
答案:A
2.若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60°
C.30° D.以上均错
解析:l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°,
它们所在直线的夹角为60°.
则直线l与平面α所成的角为90°-60°=30°.
答案:C
3.若二面角α-l-β的大小为120°,那么平面α与平面β的法向量的夹角为( )
A.120° B.60°
C.120°或60° D.30°或150°
解析:二面角为120°时,其法向量的夹角可能是60°,也可能是120°.
答案:C
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin的值为( )
A. B. C. D.
解析:如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为1,则D(0,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),M,
=(1,1,1),,
∴cos=
=,
∴sin=.
答案:B
5.如图,过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA平面ABCD,若EA=1,则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是( )
A.120° B.45°
C.135° D.60°
解析:以A为原点,分别以AB,AD,AE所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则E(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),
则=(1,0,-1),=(1,1,-1).
设平面BCE的法向量为n=(x,y,z).
则有可取n=(1,0,1),又平面EAD的法向量为=(1,0, 0),所以cos??n,??=,故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.
答案:B
6.在正四棱锥P-ABCD中,高为1,底面边长为2,E为BC的中点,则异面直线PE与DB所成的角为 .?
解析:建立空间直角坐标系如图,则B(1,1,0),D(-1,-1,0),E(0,1,0),P(0,0,1),
故=(2,2,0),=(0,1,-1).
从而cos=,
即=.
于是PE与DB所成的角为.
答案:
7.若空间直线l的方向向量为t,平面α的法向量为n,t与n的夹角θ,则l与α所成角为 .?
解析:如图可知,l与α所成角为θ-.
答案:θ-
8.如图,已知ABC-A1B1C1是直三棱柱,ACB=90°,点D1,F1分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,求BD1与AF1所成角的余弦值.
解:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,
设CB=CA=CC1=1,则A(1,0,0),B(0,1,0),D1,F1,
则.
故||=,||=,
则cos=.
于是BD1与AF1所成角的余弦值为.
9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AA1,AB的中点,求EF和平面ACC1A1夹角的大小.
解:建立如图的空间直角坐标系,设正方体棱长为2,
则由E,F分别是AA1,AB的中点,得E(2,0,1),F(2,1,0).过F作FGAC于G,则由正方体性质知FG平面ACC1A1.
连接EG,则的夹角即为所求,又因为F是AB的中点,所以AG=AC,所以G=(0,1,-1).
cos=.
=,即EF与平面ACC1A1的夹角为.
10.在如图所示的几何体中,四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,∠DAB=60°,FC⊥平面ABCD,AEBD,CB=CD=CF.
(1)求证:BD平面AED;
(2)求二面角F-BD-C的余弦值.
(1)证明:四边形ABCD是等腰梯形,ABCD,∠DAB=60°,∴∠ADC=∠BCD=120°.
又CB=CD,∴∠CDB=30°.
∴∠ADB=90°,即ADBD.
又AE⊥BD,且AE∩AD=A,AE?平面AED,AD?平面AED,BD⊥平面AED.
(2)解:由(1)知ADBD,∴AC⊥BC.
又FC平面ABCD,因此CA,CB,CF两两垂直.
以C为坐标原点,分别以CA,CB,CF所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
不妨设CB=1,则C(0,0,0),B(0,1,0),D,F(0,0,1),因此=(0,-1,1).
设平面BDF的一个法向量为m=(x,y,z),
则m·=0,m·=0,
即x-y=0,-y+z=0,所以x=y=z.
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