大地线的定义与性质.pptVIP

2.2.5 大地线 1、大地线的定义与性质 法截弧：由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为A到B的法截弧。 相对法截弧： A到B的法截弧与B到A的法截弧。 由相对法截弧构成的椭球面三角形 不是闭合图形。 2.2.5 大地线（续1） 大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。 大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面； 2、曲面上连接任何两点的最短直线必为 大地线。 3、大地线的测地曲率等于0 曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。 大地线的曲率： 大地线的挠率 2.2.5 大地线（续2） 2、大地坐标系中大地线的微分方程 (1). 大地线的二阶微分方程 以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为： 下标为相应的偏导数。 2.2.5 大地线（续3） 对于椭球面，有： 代入前面公式，得： 则旋转椭球面上大地线的微分方程为： 2.2.5 大地线（续4） 2.2.5 大地线（续5） 由上式的前两个方程得： 2.2.5 大地线（续6） 将关系： 即：大地线上各点的平行圈 半径与该点的大地线方位角 正弦的乘积是常数。 2.2.5 大地线（续7） (3). 大地线的一阶微分关系式 2.2.5 大地线（续8） 又如图所示： 2.2.5 大地线（续9） 3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 2.2.5 大地线（续10） 显然有： 2.2.5 大地线（续11） 将上式代入大地线展开式 ，得Frenet标架下的三维坐标： 2.2.5 大地线（续12） 和： 2.2.5 大地线（续13） 代入Frenet标架下的三维坐标公式 ，得： 2.2.5 大地线（续14） 将坐标系饶 y′逆时针旋转A， 得x”、y”、z”坐标系，则有： 2.2.5 大地线（续15） 最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为Weingarten级数。 2.2.5 大地线（续16） 法截弧为平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计算式为： 2.2.5 大地线（续17） 4、基于大地线的椭球面曲线坐标系 (1). 大地线极坐标系 大地圆：到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。 由大地线长度和大地方位角可描述 曲面点的位置 。 2.2.5 大地线（续18） 大地线的归化长度 m 的计算公式： 2.2.5 大地线（续19） (2). 测地坐标系 2.2.5 大地线（续19） n 称为测地平行线的归化长度因子。 2.2.5 大地线（续20） 根据球面角超的定义，在球面直角三角形 中，球面角超为： 2.2.5 大地线（续21） 代入测地平行线的归化长度因子公式，得： 习 题 1. 纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？ 2. 推导大地线的三个微分式。 3. 试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？ 4. 简述weingarten级数的推导步骤。 * (2). 克莱劳定理 直角坐标系中的椭球面方程： 椭球面法向量为： 以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为： 两者指向一致，即： 将三维空间坐标与大地坐标的关系及其微分关系： 1 代入 式，整理得： 1 2 代入上式，即得克莱劳定理： 由克莱劳定理，微分得： 代入上式，得： 三个微分关系式可整理为： 3 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式： Frenet标架的坐标轴定义：x′指向大地线的切向t， y′指向大地线的主法向n，向内为正， z′指向大地线的副法向b，构成左手系。 x′ y′ z′ 4 根据曲线论中的Frenet公式： 由以上两式可求出各阶导数： 4 5 顾及公式： 求导得： 5 x′ y′ z′ z x 以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系) x、y、z，