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材料力学斜截面应力分析
材料力学应力分析
(王家林)
图1 空间应力单元
当s t t t t 0 时,退化为平面应力状态,应力单元为:
z zx xz zy yz
图2 平面应力单元
对于图2 的平面应力单元,截取出如图3 的楔形体分析对象(厚度设为dz ):
图3 斜截面应力分析
如图 3 ,设斜截面与x 轴的夹角为a 、斜面长为ds ,则沿x 轴的投影长为
dx ds sin a ,沿y 轴的投影长为dy ds cosa 。设斜截面上的应力矢量为
v v v v v
p p x i p y j (i , j 分别为x , y 轴方向的单位矢量),根据楔形体的平衡条件可
得:
X 0 :P dsdz s dy dz t dxdz 0
i x x yx
Y 0 :P dsdz s dxdz t dxdz 0
i y y xy
化简得:
P s cosa t sin a 0
x x yx
P s sin a t cosa 0
y y xy
即有:
P s cosa t sin a
x x yx
P s sin a t cosa
y y xy
表示为矩阵形式为:
P s t s t
cosa cosa
x x yx x xy
P t s sin a t s sin a
y xy y yx y
v
如果应力矢量p 没有与斜面平行的分量 (切应力),只有与斜面垂直的分量
(正应力),则该平面称为主平面,相应的正应力称为主应力。
v
对于主应力平面,设主应力的大小为p ,则主平面上的应力矢量p 可表示为:
P
cosa
x
p
P sin a
y
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