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用推理方法研究三角形 　　教学目标 　　知识技能目标 　　1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理； 　　2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题． 　　过程性目标 　　在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力． 　　教学重点 　　1．掌握并会证明等腰三角形的判定定理和性质定理； 　　2．利用等腰三角形的有关定理去研究几何问题． 　　教学难点 　　在证明等腰三角形的有关定理的过程中，进一步体会证明的必要性，掌握证明的书写格式，提高演绎推理能力． 　　一、情境导入 　　请同学们按以下步骤画△ABC． 　　1．任意画线段BC； 　　2．以B、C为顶点，在BC的同侧作锐角∠B＝∠C，角的两边交于点A． 这个△ABC是一个什么三角形？怎么知道△ABC是一个等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD对折的方法，得到AB＝AC，这实际上就是我们已经学过的等腰三角形的识别方法：等角对等边．同学们是否想过，为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合？现在我们可以用逻辑推理的方法去证明这个问题． 　　二、探究归纳 　　1．求证：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 　　已知：如图，在△ABC中，∠B＝∠C．求证：AB＝AC． 　　分析　要证明AB＝AC，可设法构造两个全等三角形，使AB，AC分别是这两个全等三角形的对应边，因此可画∠BAC的平分线AD． 　　等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边” 　　说明 　　(1)还可通过画中线AD或BC边上的高AD得全等三角形． 　　(2)推理形式：因为在△ABC中，∠B＝∠C．（已知） 　　所以AB＝AC．（等角对等边） 　　2．同学们回忆一下，我们学过的等腰三角形具有哪些性质？(1)等边对等角；(2)等腰三角形的“三线合一”．以前，我们也用折叠的方法（可演示一下）来认识了这两个性质，现在同学们尝试用逻辑推理的方法来证明等腰三角形的性质．先试着画出图形，写出已知，求证． 　　求证：等腰三角形的两个底角相等． 　　已知：△ABC中，AB＝AC． 　　求证：∠B＝∠C． 　　分析　仍可通过画∠BAC的平分线AD来构造全等三角形． 　　等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等．（简称为“等边对等角” ） 　　推理形式：因为△ABC中，AB＝AC．（已知） 　　所以∠B＝∠C．（等边对等角） 　　说明 　　(1)也可作中线AD或BC边上的高线AD； 　　(2)由△BAD≌△CAD，可进一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90°，因此AD也是中线，是BC边上的高线． 　　等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高互相重合．（简写成“等腰三角形的三线合一” ） 　　在半透明纸上画∠AOB及角平分线OC，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E．沿着射线OC对折，发现PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我们得到了角平分线的性质．请同学们来叙述这一性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等．我们现在可以用逻辑推理的方法去证明这一性质． 1.同学们按上述性质画出图形，写出已知、求证，老师及时补充． 　　已知：OC是∠AOB平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足． 　　求证：PD＝PE． 　　分析　只要去证明PD、PE所在的两个直角三角形全等。 　　角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等． 　　2.反过来，如果一个点到一个角两边的距离相等，这个点是否就在这个角的平分线上呢？画出图形，我们通过证明来解答这个问题． 　　已知：如图，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE． 　　求证：点Q在∠AOB的平分线上． 　　分析　要证点Q在∠AOB的平分线上，即QO是∠AOB的平分线，画射线OQ，只要证∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．证明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ． 　　角平分线判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上． 　　前面我们已经用逻辑推理的方法证明了很多定理，如等腰三角形的性质与判定定理、角平分线的性质与判定定理、线段的垂直平分线的性质与判定定理等，这些定理都是命题．再如：“两直线平行，内错角相等”；“内错角相等，两直线平行”也是命题．观察这些命题的题设与结论，你发现了什么？ 　　1．命题“两直线平行，内错角相等”的题设是_______，结论是_______； 　　命题“内错角相等，两直线平行”的题设是_______，结论是_______． 　　在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互