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第三章 模态分析 3.1 为什么要计算固有频率和模态 1）评估结构的动力学特性。如安装在结构上的旋转设备，为避免其过大的振动，必须 看转动部件的频率是否接近结构的任何一阶固有频率。 2 ）评估载荷的可能放大因子。 3 ）使用固有频率和正交模态，可以指导后续动态分析（如瞬态分析、响应谱分析、瞬 态分析中时间步长∆t 的选取等） 4 ）使用固有频率和正交模态，在结构瞬态分析时，可以用模态扩张法 5 ）指导实验分析，如加速度传感器的布置位置。 6 ）评估设计 3.2 模态分析理论 考虑 假设其解为 代入得到特征方程 或 其中，λ ω2 1） 对N 自由度系统，有N 个固有频率（ω ，j=1,2, …,N ）,特征频率，基本频率或共 j 振频率。 2 ） 与固有频率ω 对应的特征向量称为自然模态或模态形状，模态形状对应于结构扰 j 度图 3 ） 当结构振动时，在任意时刻，结构的形状为它的模态的线性组合 例子： 3.3 自然模态与固有频率性质 （1） 正交性 （2 ） 的单位 ω j ωj 单位为rad/s, 也可以表示为Hz (cycles/seconds),二者换算关系为 （3 ）刚体模态 图为一未约束结构，有刚体模态 如果结构完全未约束，有刚体模态存在（应力- 自由模态）或机构运动，至少有一固有频率 为0 。 （4）自然模态的倍数依然为自然模态 如： 代表相同的振动模态 （5）模态的标准化 3.4 模态能量 （1）应变-位移关系 （2 ）应力-应变关系 （3 ）静力-位移关系 （4 ）单元应变能 因此，对给定的模态位移 模态应变为 模态应力为 模态力为 模态应变能为 3.5 特征值解法 对于方程 MSC/NASTRAN 提供三类解法 a) 跟踪法 （Tracking method ） b) 变换法 （Tromsformation method ） c) 兰索士法（Lamczos method ） 3.5.1 跟踪法 跟踪法解特征值问题，实质是迭代法。 对仅求几个特征值（或固有频率）的问题是一种方便方法。 MSC/NASTRAN 中，提供两种迭代解法，即为逆幂法（INV ）和移位逆幂 法（SINV） 前者存在丢根现象；后者采用STRUM 系列，避免丢根，改善收敛性。 逆幂法和移位逆幂法均用模型数据卡 EIGR 来定义，并用情况控制指令 METHOD 来选取。 3.5.2 变换法 特征方程变换为： [A]{φ} λ{φ} 式中矩阵[A]是用Givens 法或Householder 法变换得到的三角矩阵，一次求 解可得全部特征值。 对于维数小、元素满的矩阵，且需求全部或大部分特征值问题十分有效； MSC/NASTRAN 提供Givens 法（GIV ）和修正MGIV 法； MSC/NASTRAN 提供郝斯厚德(HOU)法和修正郝斯厚德(MHOU)法； 吉文斯（GIV ）法和郝斯厚德 (HOU) 法要求[M]矩阵正定；修正吉文斯法 （MGIV ）与修正的郝斯厚德法(MHOU)允许[M]是奇异的，从而可求解刚体模态； 变换法用模型数据卡EIGR 来描述，用情况控制METHOD 选取。 5.3.3 兰索士(Lanczos)法 兰索士(Lanczos)法是一种将跟踪法和变换组合起来的新的特征值解法; 对计算非常大的稀疏矩阵几个特征值问题最有效; 兰索士法用模型数据卡EIGRL 描述，用情况控制METHOD 选取。 5