《2矩阵与矩阵的Jordan标准形》.ppt

的任意线性组合都是前两个方程组的解，所以应该取 使得第三个非齐次方程有解，即其系数矩阵与增广矩阵有相同地秩，容易计算出其系数矩阵的秩为1，从而应该使得增广矩阵 的秩也为1。即 容易看只要 就会使得上述增广矩阵的秩为1。令 ，于是 再由第三个方程解出一个特解为 ，那么所求相似变换矩阵为 从而有 一般地，设 ，则存在 阶可逆矩阵 使得 其中 为Jordan块，记 这里 那么有 记 ，又可得 注意： 是矩阵 的对应于特征值 的特征向量，特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，同样特征向量 的选取应该保证特征向量 可以求出，依此类推，并且使得 线性无关。 Jordan标准形的某些应用 例 1 对于方阵 求 。 解：首先用初等变换法求其Jordan标准形： 故 的初等因子为 从而 的Jordan标准形为 再求相似变换矩阵 且 ，那么 按照前面例题的方式，容易计算出 从而 例 2 求解常系数线性微分方程组 解： 令 那么此方程组可表示成 由前面的例题可知存在 使得 作线性替换 从而可得 整理即得方程 首先得到两个很显然的解 然后再解第三个方程 其解为 这样得到 即 其中 为任意常数。 例 3 设 为数域 上的 阶方阵且满足 ，证明： 与对角矩阵 相似。 证明：设 的Jordan标准形为 即有可逆矩阵 使得 由于 ，所以有 从而 即 因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式才成立且 ，所以有 这说明 为一个对角矩阵且主对角线上的元素只能为1 或0，适当地调换主对角线上的元素次序可以得到方阵 此矩阵仍然与 相似。 例 4 设 为数域 上的 阶方阵且存在 正整数 使得 ，证明： 与对角矩阵相似且主对角线上的元素均为 次单位根。 证明：设 的Jordan标准形为 即有可逆矩阵 使得 由于 ，所以有 从而有 因此，只有当 为一阶矩阵时上面的矩阵等式 才成立，这样有 ，这表明 为对角矩 阵，所以 与对角矩阵相似。 例 5 试写出Jordan标准形均为 的两个矩阵。 解答： 这里 为任意的非零数。 不相似。 矩阵的Jordan标准形 定义： 称 阶矩阵 为Jordan块。设 为Jordan块，称准对角形矩阵 为Jordan标准形矩阵。由前面的例题和定理可知Jordan块的初等因子为 ，从而Jordan标准形矩阵的初等因子为 于是可以得到下面的定理 定理： 设 的初等因子为 则 ，这里 其中 我们称 是矩阵 的Jordan标准形。特别地，我们有 定理： 可以对角化的充分必要条件是 的初等因子都是一次因式。 例 1 求矩阵 的Jordan标准形。 解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到 所以 的初等因子为 故 的标准形为 或 例 2 求矩阵 的Jordan标准形。 解： 先求出 的初等因子。对 运用初等变换可以得到