《6. 第六讲 Jordan标准型》.pdfVIP

矩阵分析与应用 第六讲 Jordan标准型 信息工程学院 吕旌阳 2006-12-1 本讲主要内容 λ－矩阵的概念 若当(Jordan)标准形 欧式空间 2006-12-1 引入 由第五讲知，n维线性空间V 的线性变换在某组基下 的矩阵为对角形⇔T 有n个线性无关的特征向量. ⇔T 的所有不同特征子空间的维数之和等于n . 可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形. 本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换 的矩阵能化简成什么形状. 2006-12-1 一、λ－矩阵的概念 一、λ－矩阵的概念 定义： P [λ] 设K是一个数域， 是一个文字， 是多项式环， λ λ P [λ] 若矩阵A 的元素是 的多项式，即 的元素，则 称A为 ―矩阵，并把A写成A(λ). λ 注： ① ∵K ⊂P [λ], ∴数域K上的矩阵—数字矩阵也 λ 是 ―矩阵. 2006-12-1 λ ② ―矩阵也有加法、减法、乘法、数量乘法运算， 其定义与运算规律与数字矩阵相同. ③对于n ×n 的 ―矩阵，同样有行列式 | A (λ) |, λ λ 它是一个 的多项式，且有 | A (λ)B (λ) | | A(λ) || B (λ) | . A(λ),B (λ) λ 这里 为同级 ―矩阵. ④与数字矩阵一样， ―矩阵也有子式的概念. λ λ λ ―矩阵的各级子式是 的多项式. 2006-12-1 定义： λ A(λ) r (r ≥1) 若 ―矩阵 中有一个 级子式 不为零，而所有r +1 级的子式（若有的话）皆为零， 则称A(λ) 的秩为r . 零矩阵的秩规定为0 . 2006-12-1 λ－矩阵的初等变换 λ－矩阵的初等变换 λ―矩阵的初等变换是指下面三种变换: ①矩阵两行（列）互换位置； 行变换： r ↔r 列变换：ci ↔cj i j ②矩阵的某一行（列）乘以非零常数k ； 行变换： kr 列变换： kci i ③矩阵的某一行（列）加另一行（列）的p (λ)倍， p (λ)是一个多项式. r +p(λ)r c + p(λ)c 行变换： 列变换： i j i j 2006-12-1 二、λ－矩阵的行列式因子 二、λ－矩阵的行列式因子 D (λ) 行列式因子： k =最大公因式{A (λ) 的所有k阶子式} D (λ