近三年高考中的线性规划问题赏析.docVIP

《中学数学月刊》2010第4期 近三年高考中的线性规划问题赏析 顾日新 苏州新区第一中学 215011 1 问题的提出 线性规划问题在近三年全国及各省市的高考试题中，都是以选择题或填空题的形式呈现的；考查内容 除了常见的截距型、距离型和斜率型问题外，还出现了求平面区域的面积、求约束条件中的参变量范围以及求目标函数中的参变量范围等问题，集中体现了化归思想、数形结合思想以及运动变化思想等等；不仅考查了学生的画图、识图能力，还对学生的观察能力、联想能力以及推理能力提出了较高的要求。下面，我们先来了解一下线性规划在近三年高考中各省市的命题情况。 2线性规划在近三年高考中各省市的命题情况统计表 　 北京 山东 上海 天津 湖北 全国Ⅰ 全国Ⅱ 浙江 安徽 重庆 07 约束条件含参 距离 　 截距 截距 可行域 　 约束条件含参 距离 截距 08 截距 目标函数含参 最值 截距 可行域 截距 截距 面积 面积 　 09 截距 截距、最值 截距 截距 截距 　 　 截距 参数/面积 　 　 陕西 湖南 江苏 广东 江西 海南宁夏 四川 福建 辽宁 　 07 截距 约束条件含参 面积 　 可行域 　 　 截距 斜率 　 08 约束条件含参 截距 　 截距 　 　 斜率 截距 　 09 目标函数含参 　 　 　 　 截距 截距 面积 　 　 根据上表统计，07、08两年线性规划问题在高考试题中都出现了14次，09年是11次。知识点的考查以截距型背景为主；考查难度上，各省市表现并不均衡，大部分省市（如北京、天津、辽宁等）的试题则比较简单平和，而北京、上海、浙江、山东等省市的试题曾以压轴题的形式出现过，考查难度明显加大，对学生的能力要求明显提高。下面择其中的典型试题进行归类分析，以帮助同行进行线性规划的专题复习。 3典例简析 3.1截距型问题 例1（08北京·文6）若实数满足则的最小值是 （ ） A．0 B． C．1 D．2 解析：如图1，阴影部分表示不等式组对应的可行域，其中， ，分别代入，得， 答案选A。 评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的最值问题，通常转化为求直线在轴上的截距的取值。结合图形易知，目标函数的最值一般在可行域的顶点处取得。掌握此规律可以有效避免因草图太草而造成的视觉误差。 3.2 距离型问题 例2（07安徽·理7）如果点在平面区域上，点在曲线上， 那么的最小值为 （ ） A. B. C. D. 解析：如图2，阴影部分为点所在的平面区域，点在圆 上，则的最小值为圆心到直线 x－－ 的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间的距离的取值。结合图形易知，可行域的顶点及定点在可行域边界线上的垂足是求解距离取值的关键点。 3.3 斜率型问题 例3（08福建·理8）若实数x、y满足则的取值范围是 （ ） A.(0,1) B. C.(1,+) D. 解析：如图3，阴影部分为不等式所对应的平面区域，表示 平面区域内的动点与原点之间连线的斜率，由图易知， ，答案选C。 评注：在线性约束条件下，对于形如的目标函数的取值问题，通常转化为求点、之间连线斜率的取值。结合图形易知，可行域的顶点是求解斜率取值问题的关键点。在本题中，要合理运用极限思想，判定的最小值无限趋近于1。 3.4 平面区域的面积问题 例4（09安徽文·3）不等式组所表示的平面区域的面积等于（ ） A. B. C. D. 解析：如图4阴影部分所示，平面区域的面积为： 。 评注：本小题属于基本题，主要考查了简单的线性规划问题， 考查学生的画图能力，以及数形结合的思想方法。 例5（07江苏·10）在平面直角坐标系，已知平面区域且， 则平面区域的面积为 （ ） A． B． C． D． 解析：令，则， 代入集合A，易得，其所对应的平面区域 如图5阴影部分，则平面区域的面积为×2×1＝1，答案选B。 评注：本题涉及双重约束条件，解题的关键是采用换元的思想去寻求平面区域所对应的约束条件，从而准确画出相应的平面区域。 例6（08安徽卷·理15）若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时， 动直线扫过中的那部分区域的面积为 。 解析：如图6，阴影部分为不等式组表示的平面区域，其中： 。当从－2连续变化到1时， 动直线扫过的平面区域即为与之间的平面区域，则动直线扫过 中的那部分平面区域的面积即为四边形的面积，由图易知， 其面积为：。 评注：本题所求平面区域即为题设平面区域A与动直线在从－2连续变化到1时扫过的平面区域之间的公共区域，理解题意，准确画图