量子力学知识点小结.docx

量 子 力 学 请勿外传|物理111 杨涛PAGE \* MERGEFORMAT37 量子力学知识总结   物理111 杨涛 认真、努力、坚持、反思、总结…  量子力学知识点小结 一、绪论 1.光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个实验最终确定的。 2.德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性，其德布罗意关系为和 3.波尔的三个基本假设是定态条件假设、、 4.自由粒子的波函数 5.戴维孙革末的电子在晶体上衍射实验证明了电子具有波动性。 二、波函数及薛定谔方程 （一）波函数的统计解释（物理意义） A.波函数的统计解释 。 B. 波函数的统计解释 位置处单位体积没找到粒子的几率。 例：已知体系处于波函数所描写的状态，则在区间内找到粒子的概率是. 已知体系处于波函数所描写的状态，则在球壳内找到粒子的概率是，在立体角内找到粒子的概率是.（注：） （二）态叠加原理： 如果和是体系的可能状态，那么它们的线性叠加 （为复数） 也是这个体系可能的状态。 含义：当体系处于和的线性叠加态（为复数） 时，体系既处于态又处于态，对应的概率为和. （三）概率密度（分布）函数 （四）薛定谔方程： 问题：1.描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的. 2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设，不是通过严格的数学推导而来的 （五）连续性方程： 问题：波函数的标准条件单值、连续、有界。 （六）定态薛定谔方程： 即： 定态的特点： （1）粒子的几率密度和几率流密度与时间无关 ∵ （2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证） （3）各力学量的平均值不随时间变化 定义：哈密顿算符 于是定态薛定谔方程可写为： 这种类型的方程称为本征值方程，被称为算符的本征值，称为算符的本征方程。 讨论定态问题，就是要求出（或）和，含时间的薛定谔方程的一般解，可以写成这些定态波函数的线性迭加： 为常数。 （七）一维无限深势阱问题 设粒子的势能： 在势阱外 [] （1） 在势阱内：因为，所以其定态薛定谔方程为： （2） 令 （3） 则方程（2）可化为标准形式： （4） 其通解为： （5） 式中，为两个待定常数，单从数学上看，为任何值方程（2）都有解，然而，根据波函数连续性要求，在势阱边界上，有 （6） （7） 由（5）式和（6）式得： 令波函数不能恒为零，而不能为零，所以必须 ，于是 （8） 再根据（7）式得 所以必须满足： 取负数给不出新的波函数。这告诉我们k只能取下列值 (9) 由(3）式可知，粒子的能量只能取下列值： (10) 将（9）式代入到（8）式中，并把势阱外的波函数也包括在内，我们就得到能量为的波函数。 （11） 注：，波函数无意义 （11）式中A可由归一化条件确定 知： 最后得到能量为的归一化波函数为： 总结： 1、 可得： 2、 可得： 3、 可得： 问题： 粒子在一维无限深势阱中运动时，若阱宽减小，则其能级间隔会增大. （八）一维线性谐振子问题： 一维线性谐振子的势能： 定态薛定谔方程： 令： 最后可求得一维线性谐振子的能量与对应的波函数为： 与之相应的波函数为： 归一化因子