习题五 大数定律及中心极限定理答案.pdfVIP

习题五 大数定律及中心极限定理 5.1 利用契比雪夫不等式估计随机变量与其数学期望的差大于三倍标准差的概率。 解 令 ε 3σ，则由契比雪夫不等式 D (X ) −µ ≥ε ≤ P {| X | } 2 ε 从而有 σ2 1 P {| X −µ |≥ 3σ ≤} 2 2 . 3 σ 9 5.6 一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立且服从同 一分布,其数学期望为2mm ,均方差为0.05mm .规定总长度为(20 ±0.1)mm 时产 品合格,试求产品合格的概率. 解 设一部件包括 10 部分长度分别为x , , x ,它们相互独立,且服从同分布, 1 10 则由已知条件知 E (X ) 2, D (X ) 0.052 0.025. i i 设总长度为 10 10 ⇒ Y ∑X , E (Y ) ∑E (X ) 20 i i i 1 i 1 n D (Y ) ∑D (X ) 10×0.025 0.25 i i 1 规定总长度为(20 ±0.1)mm 时产品合格.即当| Y −20 |0.1 时产品合格,则合格率 为 | Y −20 | 0.1  | Y −20 |  P {|Y −20 |0.1} P = P 0.6325      0.025 0.025   0.025  ≈2Φ(0.6325) −1 2=×0.7357 −1 0.4714 5.7 计算器在进行加法时,将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差 是独立的且在(−0.5,0.5) 上服从均匀分布. (1) 若将1500 个数相加,问误差总和的绝对值超过15 的概率是多少? (2) 最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10 的概率不小于0.90? 解 (1) 设 1500 个数相加时舍入误差分别表示为X 1 , , X 1500 ,它们相互独立,且 在(−0.5,0.5) 上服从同一个均匀分布,于是 1  0.5 1  E (X ) 0, D (X ) E (X )