二次函数的性质Microsoft Word 文档.docVIP

二次函数的图像与应用 知识要点： 1．结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性． ．函数零点的定义(1)对于函数y＝f(x)(xD)，把使f(x)成立的实数x叫做函数y＝f(x)(xD)的零点． (2)方程f(x)＝0有实根函数y＝f(x)的图像与有交点函数y＝f(x)有． 3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图像与零点的关系 Δ0 Δ＝0 Δ0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a0)的图像 与x轴的交点 无交点 零点个数 4．设x1、x2是实系数二次方程ax2＋bx＋c＝0(a0)的两实根，则x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系，如下表所示． 根的分布 图像 充要条件 x1x2k 或 根的分布 图像 充要条件 x1、x2 (k1，k2) 根的分布 图像 充要条件 x1kx2 f(k)0 根的分布 图像 充要条件 x1，x2有且仅有一个在(k1，k2)内 f(k1)·f(k2)0或f(k1)＝0，k1－或f(k2)＝0，－k2 　已知函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋(m－7)．问当m取何值时，函数的零点满足下列性质，通过求解，探求此类问题的一般解法．(1)均为正数；(2)一正一负；(3)一根大于2，另一根小于2；(4)两根都在(0,2)内． 1．若方程2ax2－x－1＝0在(0,1)内恰有一解，则a的取值范围为(　　) A．a－1 B．a1 C．－1a1 D．0≤a1 ．已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(ab)，m，n是f(x)的零点，且mn，则实数a，b，m，n的大小关系是(　　) A．mabn B．amnb C．ambn D．manb ． f(x)的定义域是[0,2]，则函数的定义域是（ ） A．[0,1] B．[0,1]∪（1,4）] D．（0,1） 4． 已知函数f（则f（3）=（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 5．设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2013(x)＝(　　) A. B． C．x D．－已知函数y＝－x2＋ax－＋在区间[0,1]上的最大值是g(a)． (1)写出g(a)的函数表达式； (2)求g(a)的最小值．．关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间 [0,2]上有解，求实数m的取值范围m≤－1. ．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由．综上所述，a－或a1. ．f(x)= - x2+2ax+1-a在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。 例3已知二次函数，满足f(-1)=0；且对任意实数x都有f(x)-x≥0；当时有 （1）求f(1)的值； （2）证明：a0,c 0; （3）当时，函数是单调的，求证：或 练9．f(x)满足f(-1)=0，且对一切实数恒成立：（1）求f(1) ；（2）求f(x)的解析式； 练10．的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）或（） 练11．f(x)＝f(x)0不等式的解集为(1,3)，试解关于t的不等式。。 例4函数f(x)＝|4x－x2|－a恰有三个零点，则a＝________. ．若1x3，a为何值时x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？ 已知f(x)＝则下列函数的图像错误的是(　　) 上变化，则的最大值为（） （A）（B）（C）（D） 不等式的解为： 练习:已知y=f(x)=x2-2x+3,当x∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值。 变式 3.若集合,,则中小于的元素个数为_____. :由题意若,则,若,则,故若,则,即若,则,于是可得满足题意的元素共有个. 21．（本题满分12分） 已知二次函数f（x）=ax2+bx+c。 （1）若abc,且f（1）=0,证明f（x）的图象与x轴有两个交点; （2）在（1）的条件下,是否存在mR,使得当f（m）=-a成立时,f（m+3）为正数,证明你的结论;若不存在,说明理由; （3）若对x1,x2R,且x1x2,f（x1）≠f（x2）,方程f（x）=[f（x1）+f（x2）]有两个不等的实根,证明必有一个实根属于（x1,x2） （1）3分,∵f（1）=0 ∴a+b+c=0 又abc ∴a0,c0, ⊿=b2-4ac0 ∴图象与x轴有两个交点． （3）4分,另g（x）=f（x）-] ∵g（x1）g（x2）=[f（x1）-[f（x2） -=-[f（x1-f（x2））已知函数f(x)、g(x