导数中的求参数取值范围问题.docVIP

帮你归纳总结(五）：导数中的求参数取值范围问题 常见基本题型： （1）已知函数单调性，求参数的取值范围，如已知函数增区间，则在此区间上 导函数，如已知函数减区间，则在此区间上导函数。 （2）已知不等式恒成立，求参数的取值范围问题，可转化为求函数的最值问题。 例1.已知R，函数.（R，e为自然对数的底数） （1）若函数内单调递减，求a的取值范围； （2）函数是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明 理由. 解： （1） =. 上单调递减， 则 对 都成立， 对都成立. 令，则 , . （2）①若函数在R上单调递减，则 对R 都成立 即 对R都成立. 对R都成立 令， 图象开口向上 不可能对R都成立 ②若函数在R上单调递减，则 对R 都成立， 即 对R都成立， 对R都成立. 故函数不可能在R上单调递增. 综上可知，函数不可能是R上的单调函数 例2：已知函数,若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，对于任意，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围； 解： 令得， 故两个根一正一负，即有且只有一个正根 函数在区间上总不是单调函数 在上有且只有实数根 故， 而单调减， ，综合得 例3.已知函数． （Ⅰ）求函数的单调区间； （Ⅱ）设，若对任意，，不等式 恒成立，求实数的取值范围．I）的定义域是 由及 得；由及得， 故函数的单调递增区间是；单调递减区间是 （II）若对任意，，不等式恒成立， 问题等价于， 由（I）可知，在上，是函数极小值点，这个极小值是唯一的极值点， 故也是最小值点，所以； 当时，； 当时，； 当时，； 问题等价于 或 或 解得 或 或 即，所以实数的取值范围是。 例4．设函数, (1)当a＝0时，f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围； (2)当m＝2时，若函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点，求实数a的 取值范围． 解：(1)由a＝0，f(x)≥h(x)， 可得－mlnx≥－x，x∈(1，＋∞)，即m≤. 记φ(x)＝，则f(x)≥h(x)在(1，＋∞)上恒成立等价于m≤φ(x)min. 求得φ′(x)＝ 当x∈(1，e)，φ′(x)＜0； 当x∈(e，＋∞)时，φ′(x)＞0. 故φ(x)在x＝e处取得极小值，也是最小值， 即φ(x)min＝φ(e)＝e，故m≤e. 函数k(x)＝f(x)－h(x)在[1,3]上恰有两个不同的零点等价于方程x－2lnx＝a， 在[1,3]上恰有两个相异实根． 令g(x)＝x－2ln，则g′(x)＜1－. 当x∈[1,2)时，g′(x)＜0； 当x∈(2,3]时，g′(x)＞0. ∴g(x)在(1,2)上是单调递减函数，在(2,3]上是单调递增函数． 故g(x)min＝g(2)＝2－2ln2. 又g(1)＝1，g(3)＝3－2ln3， ∵g(1)＞g(3)，∴只需g(2)＜a≤g(3)． 故a的取值范围是(2－ln2,3－2ln3]. 二、针对性练习 1.已知函数若函数在[1，4]上是减函数，求实数a的取值范围。 解：由，得． 又函数为[1，4]上的单调减函数。 则在[1，4]上恒成立，． 所以不等式在[1，4]上恒成立． 即在[1，4]上恒成立。 设，显然在[1，4]上为减函数， 所以的最小值为 的取值范围是 2.已知函数 （1）若存在，使成立，求的取值范围； （2）当时，恒成立，求的取值范围. 解:（1）即 令 时，时， 在上减，在上增. 又时，的最大值在区间端点处取到. ， 在上最大值为 故的取值范围是， （3）由已知得时，恒成立， 设 由（2）知当且仅当时等号成立， 故，从而当 即时，为增函数，又 于是当时