导数公式证明大全.docVIP

导数的定义：f(x)=lim Δy/Δx ??? Δx→0（下面就不再标明Δx→0了） 用定义求导数公式 （1）f(x)=x^n? 证法一：（n为自然数） f(x) =lim [(x+Δx)^n-x^n]/Δx =lim (x+Δx-x)[(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)]/Δx =lim [(x+Δx)^(n-1)+x*(x+Δx)^(n-2)+...+x^(n-2)*(x+Δx)+x^(n-1)] ...x^(n-2)*x+x^(n-1) =nx^(n-1) ? 证法二：（n为任意实数） f(x)=x^n lnf(x)=nlnx (lnf(x))=(nlnx) f(x)/f(x)=n/x f(x)=n/x*f(x) f(x)=n/x*x^n f(x)=nx^(n-1) ? （2）f(x)=sinx f(x) =lim (sin(x+Δx)-sinx)/Δx =lim (sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim (sinx+cosxsinΔx-sinx)/Δx =lim cosxsinΔx/Δx =cosx ? （3）f(x)=cosx f(x) =lim (cos(x+Δx)-cosx)/Δx =lim (cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx)/Δx =lim (cosx-sinxsinΔx-cos)/Δx =lim -sinxsinΔx/Δx =-sinx ? （4）f(x)=a^x f(x) =lim (a^(x+Δx)-a^x)/Δx =lim a^x*(a^Δx-1)/Δx （设a^Δx-1=m，则Δx=loga^(m+1)） =lim a^x*m/loga^(m+1) =lim a^x*m/[ln(m+1)/lna] =lim a^x*lna*m/ln(m+1) =lim a^x*lna/[(1/m)*ln(m+1)] =lim a^x*lna/ln[(m+1)^(1/m)] =lim a^x*lna/lne =a^x*lna ? 若a=e，原函数f(x)=e^x 则f(x)=e^x*lne=e^x ? （5）f(x)=loga^x f(x) =lim (loga^(x+Δx)-loga^x)/Δx =lim loga^[(x+Δx)/x]/Δx =lim loga^(1+Δx/x)/Δx =lim ln(1+Δx/x)/(lna*Δx) =lim x*ln(1+Δx/x)/(x*lna*Δx) =lim (x/Δx)*ln(1+Δx/x)/(x*lna) =lim ln[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/(x*lna) =lim lne/(x*lna) =1/(x*lna) ? 若a=e，原函数f(x)=loge^x=lnx 则f(x)=1/(x*lne)=1/x （6）f(x)=tanx f(x) =lim (tan(x+Δx)-tanx)/Δx =lim (sin(x+Δx)/cos(x+Δx)-sinx/cosx)/Δx =lim (sin(x+Δx)cosx-sinxcos(x+Δx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim (sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinΔx/(Δxcosxcos(x+Δx)) =1/(cosx)^2=secx/cosx=(secx)^2=1+(tanx)^2 ? （7）f(x)=cotx f(x) =lim (cot(x+Δx)-cotx)/Δx =lim (cos(x+Δx)/sin(x+Δx)-cosx/sinx)/Δx =lim (cos(x+Δx)sinx-cosxsin(x+Δx))/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim (cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx)/(Δxsinxsin(x+Δx)) =lim -sinΔx/(Δxsinxsin(x+Δx)) =-1/(sinx)^2=-cscx/sinx=-(secx)^2=-1-(cotx)^2 ? （8）f(x)=secx f(x) =lim?(sec(x+Δx)-secx)/Δx =lim (1/cos(x+Δx)-1/cosx)/Δx =lim (cosx-cos(x+Δx)/(ΔxcosxcosΔx) =lim (cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx)/(Δxcosxcos(x+Δx)) =lim sinxsinΔx/(Δxcosxcos(x