导数解题策略.docVIP

导数-----高中数学不可或缺的解题工具 商南县高级中学 王育生 726200 数学学科的系统性和严密性决定数学知识的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横行联系，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的结构框架。 导数是高中数学的工具，学习导数的目的是用导数解决数学问题，高中数学中有很多问题都是其他知识与导数相结合命制的，下面我们就一起来探究一下这类问题的求解策略。 热点一、在导数与函数性质的交汇点命题：主要考查导数的简单应用，包括求函数的极值，求函数的单调区间，证明函数的单调性等。命题的热点：三次函数求导后为二次函数，结合一元二次方程根的分布，考查代数推理能力、语言转化能力和待定系数法等数学思想。 例1.（2009江西卷文） 设函数．，恒成立，求的最大值； （2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围．解析 , 因为,, 即 恒成立, 所以 , 得，即的最大值为 (2) 因为 当时, ;当时, ;当时, ; 所以 当时,取极大值 ; 当时,取极小值 ; 故当 或时, 方程仅有一个实根. 解得 或. 热点二、在导数与含参数函数的交汇点命题：主要考查含参数函数的极值问题，分类讨论思想及解不等式的能力，利用分离变量法求参数的取值范围等问题。 例2.(2008年全国一) 已知函数，． （Ⅰ）讨论函数的单调区间； （Ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围． 解析 （1）求导： 当时，，，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减， 递增 （2），且解得： 热点三、导数与不等式的证明交汇命题 导数与不等式的的交汇命题解决的关键是构建适当的辅助函数，即设法利用导数方法来研究函数的单调性，从而研究不等式的问题． 例3.证明：． 分析：左边是多项式，右边是三角函数，可以考虑利用三角函数的有界性，证明左边的最小值恒大于右边即可。 证明：构造，则．该二次式的判别式，，是上的增函数．，，而，． 点评：本题并没有千篇一律的将不等式右边也纳入到所构造函数中，而是具体问题具体分析，考虑三角函数的有界性，用架桥铺路，使问题得解. 热点四、在导数与向量问题交汇点命题：依托向量把函数单调性，奇偶性，解不等式等知识融合在一起。即考查了向量的有关知识，又考查了函数性质及解不等式等内容。 例 4. 已知，函数．设，记曲线在点处的切线为．⑴ 求的方程； ⑵ 设与轴交点为．证明：①； ②若，则． ⑴ 解：求的导数：，由此得切线的方程： ． ⑵ 证明：依题意，切线方程中令y＝0， . 由 . ． 热点五、导数与三角的交汇 例5 (2009·苏北四市联考)已知函数f(x)＝f′sin x＋cos x，则f＝________. 解析：由已知，得f′(x)＝f′cos x－sin x. 则f′＝－1，因此f(x)＝－sin x＋cos x，f＝0. ，则与的大小关系 （ ） A． B． C． D．与的取值有关 解析：令,由，在上的正负可知与的取值有关。 故答案应选D. 热点六、导数与线性规划的交汇命题 线性规划与不等式是一家，导数又是解决不等式的有利武器，这充分说明导数与线性规划的联姻是符合命题规律的。 例6.已知函数，在处取得极大值，在处取得极小值，且．（1）证明；（2）求的取值范围． 分析：由题意可以借助导数找到的不等关系从而确定可行域，进而能够求得的取值范围。 解：求函数的导数． （Ⅰ）由函数在处取得极大值，在处取得极小值，知是的两个根．所以，当时为增函数，，由，得． （Ⅱ）在题设下，等价于　即． 化简得．此不等式组表示的区域为平面上三条直线：． 所围成的的内部，其三个顶点分别为：． 在这三点的值依次为． 所以的取值范围为． 点评：本题的命题立意较新，借助导数中的极值来确定的不等关系范围，与线性规划结合求得的范围，使得导数与线性规划建立起了联系。 热点七、导数与函数模型构建交汇点命题 导数是探讨数学乃至自然科学的重要的、最有效的工具，它也给出了我们生活中很多问题的答案，诸如用料最省、容量最大、亮度最强等。 例7.要建一个圆柱形无盖的粮仓，要求它的容积为，问如何选择它的直径和高，才能使所用材料最省？ 分析：根据题意分清楚各个量之间的关系，建立函数关系式，借助导数问题求得最优化的解。 解：欲使材料最省，实际上是使表面积最小，设直径为d，高为h，表面积为S，由 ，得．又，而． 令，即，得，此时． 时，；时，， 所以，当，时，用料最省． 点评：用料最省、造价最低一般都是与表面积有关，此类问题的求解思路是找到变量之间的关系，再借助关系列出函数式，然后通过导数予以求解． 热点八、导数与解析几何的交汇命题 例8.设是抛物线的焦点．（I