导数问题中参数范围的求法~典型.docVIP

导数问题中参数范围的求法 分离常数法 （Ⅰ）常规分离常数法 原理：将所给不等式变形为 例1、（2010全国卷一）已知函数，若，求的取值范围. 解： 令 . ， 当 所以 故 . （Ⅱ）能分离常数，但求稳定点困难 原理：稳定点的估算利用连续函数介值定理去估算 例2、已知函数 ，若当，恒成立，求正整数的最大值. 解：有已知 设 ， 设 从而 由于且 所以 故 得 时 时 所以 又因为， 故. （Ⅲ）能分离常数，但求最值困难 例3、已知函数，若当，恒成立，求的取值范围. 解：当 恒成立 当 由已知 令 令 故 进而 所以的取值范围是. 注：此题求最值时应用洛必达法则 洛必达法则1（适用于型不定式极限） 若函数满足：①; ②在点的某空心邻域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为）； 则. 洛必达法则2（适用于型不定式极限） 若函数满足：①; ②在点的某空心邻域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为）； 则. 此方法对与高中生来说理解上稍有难度，但对于研究高中教学的人来说，更进一步对于接受过高等数学教育的人来说还是大有裨益的. 最值转化法 适用于： （Ⅰ）局部最值转化 例4、（2010山东）已知函数. 设.当时，若对任意，存在使.求实数的取值范围. 解：由于“对任意，存在使”等价于“. 当时 ，. , ①, ②, ③，. 综上的取值范围是. （Ⅱ）整体最值转化 方法：设辅助函数 辅助函数的设法： 利用泰勒展式设辅助函数： 实质：任意一个函数都可由幂函数近似表示. 例5、已知函数，若当，恒成立，求的取值范围. 解：设 当时，， 当时， ； 所以的取值范围是. 例6、（2010新课标卷）设函数，若当，恒成立，求的取值范围. 方法一：解：当时，，恒成立 当时，由已知 令（由于） 令， 故 进而 所以 ， 故的取值范围是. 说明：此处引进泰勒展式设辅助函数，以避免有些教师辅助函数设法的“经验说”. 方法二：解：，设， 当时 即 在上单调递增 故 当时 令 解得 时 在单调递减，即在单调递减 ，故单调递减, 所以，与题意不符 综上的取值范围是. 声明：本文部分题引用高考数学卷，但为了充分直接地说明问题，部分地方对高考真题略有改动,