开普勒定律的数学解释和现代证明.pdfVIP

第35卷第12期 数学的实践与认识 Vo1．35No．12 2005年12月 MATHEMATICSIN PRACTICEAND THE0RY Decem．，2005 开普勒定律的数学解释及现代证明 吴业明 (武警北京指挥学院，北京 100012) 摘要； 牛顿和开普勒关于行星运动的数学解释是科学史上极其重要的两大成就．牛顿对开普勒定律的解 释．虽然包含了许多微积分的基本思想，其推理还是用的相似三角形和几何学[．这里，我们可以给出一个 现代的证明方法来解释牛顿的推算． 关键词 ： 开普勒定律；数学解释；现代证明 l 关于行星运动的开普勒定律 我们知道，行星环绕太阳运行，但不是在以太阳为中心的圆周轨道上运行；月球环绕地 球运行，但也不是在 以地球为中心的圆周轨道上运行．对星体看似不规则的行迹，开普勒 (Kepler，J。l571—1630)把二十余年的观测和研究归纳成简洁的几条规律． 1．1 开普勒定律 1)每个行星的轨道都是以太阳为一个焦点的一个椭圆．而且，这些轨道都在包含太阳 在内的一个平面上． 2)当一个行星环绕太阳运动时，从太阳到行星的线段在相同的时间扫过相同的面积． 1 1， 3)比值 I-对于每一个环绕太阳运行的行星都是相同的．T为轨道周期，d为轨道的半 “ 长轴． 2 牛顿对开普勒定律的解释 开普勒定律只是描述性的回答 了 “是什么”，但没有解释 “为什么”．而牛顿 (Isaac Newton，1642一l727)的巨大成就在于他发现了导致这些定律的根本原因． 2．1 开普勒第二定律和向心运动 我们定义：关于固定点A的向心运动为加速度向量总是指向A的运动．牛顿证明了向 心运动与服从开普勒第二定律的行星运动是等效的． 假设一个物体在一个包含点 的平面上运动，满足从 到物体的线段在相同的时间里 扫过相同的面积，那么这个运动是关于 的向心运动．反之，如果运动是关于 的向心运 动，那么物体是在一个包含A的平面上运动，而且从 A到物体的线段在相同的时间里扫过 相同的面积．牛顿给出了这个法则的几向证明． 2．2 开普勒第一定律和万有引力 由开普勒第二定律和向心运动的等效性可知，一个行星的加速度向量总是指向太阳． 但是它的大小是多少?牛顿证明了加速度的大小可以从开普勒第一定律导出．牛顿的结论 收稿 日期：2004—11—26 220 数 学 的 实 践 与 认 识 35卷 可表述为，假设一个物体在一个椭圆上且关于这个椭圆的一个焦点 作向心运动．设椭圆 的半长轴为d，运动周期为T．如果，．是从物体到焦点A的距离，那么加速度的大小n一 ， 这里 与，．的平方成反比，矗一 ． 牛顿认识到，当月球围绕地球运行时，必然存在一个力使月球运行的路径弯曲．他领悟 到把苹果拉向地面的力与使月球在它的轨道上加速的力是同一种力．这个力的大小可由万 有引力定律给出F= ，这里G是一个常数．对于质量为m的行星，绕质量为M的太阳 转动，我们有等式F— 口：G了Mm ， 即 ． 这里值得关注的是，牛顿对万有引力定律的阐述，解释了开普勒定律不涉及行星质量这 一 事实．同时，也解释了伽利略(GalileoGalilei，1564--1642)的惊人发现—— 自由落体的 加速度不依赖于该物体的质量．另一方面，由牛顿定律F—mn=GMm导出的关系式 一 代入d： ，得GM ：4~Zd3 ， ， 可用于计算物体的质量，其中G的实验值大约是6，6726 ×10叫 牛顿一米。千克～．许多行星的质量就是这样求得的． 2．3 开普勒第三定律和轨道数据 2 2 开普勒第三定律说比值 对所有行星是相同的．牛顿证明了常数值 取决于行皇做