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Chapter3：Fractal Chapter3：Fractal 1.Fractal Phenomena 2.Fractal Dimension 3.Fractal Time Series Analysis Defining Chaotic Motion Chaotic motion is: 1.Irregular, not periodic: requires infinite information to follow one particle’s trajectory 2.Exquisitely(敏锐地) sensitive to initial conditions: two nearby trajectories diverge exponentially fast (a trait found only in non-linear systems) 3.Fractal in nature: self-similar at all magnifications 1 1-1.Fractal Phenomena 1-1.Fractal Phenomena 美籍法国数学家Mandelbrot B.B （1924-）。 1952年获巴黎大学博士学位后，先后“ 闯入”过 物理学、经济学、生理学、语言学和其它一些 似乎毫不相关的学科（Intellectual Wanderer ）. 1982年 《大自然的分形几何学》为成名作。 科学贡献：①.发现Levy稳定分布的重要性并应用于经济 学、布朗运动、星系分布等领域；②.用自相似观点研噪声与 湍流的阵发过程；③.在前人基础上扩展了维数概念及提出分 形概念，并使各领域科学家广泛理解；④.重新发现M集合， 推动复迭代复兴及计算机图形学发展。 How long is coast of Britain? （Mandelbrot: Scinece,Vol.156,1967,pp636-638） 2 Construction of the Koch curve (Koch Helge Von,1904,瑞典数学家) •无特征尺度（长度及面积）； •永远看不清的“精细结构”，传 统几何学很难研究(妖魔曲线) ； •具有自相似性。 •局部几何性质很难描述，处处 连续但不可微； 3 Self-Similarity Sierpinskis triangle （1915－1916年俄国Sierpinski构造出“病态” 图形 ） A self similar objects repeating itself over all scales of magnification Iteration 1 Iteration 2 Iteration … 4 ⎧ x −(y + z ) ⎪ ⎨ y x + ay ⎪ z b + xz − cz ⎩