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《DA2016年高考数学安徽文》.doc
2008年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学(文科)试题参考答案
一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分60分.
1.D 2.B 3.B 4.B 5.A 6.C
7.A 8.D 9.A 10.D 11.C 12.C
二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题4分,满分16分.
13. 14.4 15. 16.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.本题主要考查三角函数式的化简、三角函数的图象及性质,区间上三角函数的值域等.考查运算能力和推理能力.本小题满分12分.
解:(Ⅰ)
.
所以周期为.
(Ⅱ),,
因为在区间上单调递增,在区间上单调递减,
所以当时,取得最大值1.
又,
当时,取得最小值.
函数在上的值域为.
18.本题主要考查排列、组合知识与等可能事件、互斥事件概率的计算,运用概率知识分析问题和解决实际问题的能力.本小题满分12分.
解:(Ⅰ)每次测试中,被测试者从10张卡片中随机抽取的1张卡片上,拼音带有后鼻音“g”的概率为.
因为三位被测试者分别随机抽取一张卡片的事件是相互独立的,因而
所求的概率为.
(Ⅱ)设表示所抽取的三张卡片中,恰有张卡片带有后鼻音“g”的事件,且其相应的概率为,则
,,
因而所求概率为
.
19.本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、异面直线所成角及点到平面的距离等知识,考查空间想象能力和思维能力,用综合法或向量法解决立体几何问题的能力.本小题满分12分.
解:方法一(综合法):
(Ⅰ),
为异面直线与所成的角(或其补角).
作于点,连接.
平面.
.
.
与所成角的大小为.
(Ⅱ)平面,点和点到平面的距离相等,
连接,过点作于点.
平面,
平面,.
又平面,线段的长就是点到平面的距离.
,,
.
点到平面的距离为.
方法二(向量法):
作于点.如图,分别以所在直线为轴建立直角坐标系.
,
(Ⅰ)设与所成的角为,
,
,.
与所成角的大小为.
(Ⅱ),.
设平面的法向量为,则.
即
取,解得.
设点到平面的距离为,则为在向量上的投影的绝对值.
,.
所以,点到平面的距离为.
20.本题主要考查函数导数的概念和计算,导数与函数极值的关系,不等式的性质和综合运用有关知识解决问题的能力.本小题满分12分.
解:(Ⅰ),
由于函数在时取得极值,所以,
即,.
(Ⅱ)方法一:
由题设知“对任意都成立,
即对任意都成立.
设(),则对任意,为单调递增函数().
所以对任意,恒成立的充分必要条件是,
即,,
于是的取值范围是.
方法二:
由题设知:对任意都成立,
即对任意都成立.
于是对任意都成立,即.
.
所以的取值范围是.
21.本题主要考查数列的概念、数列通项公式的求法以及不等式的证明等;考查运算能力,综合运用知识解决问题的能力.本小题满分12分.
解:(Ⅰ)方法一:
,
当时,是首项为,公比为的等比数列.
,
即.
当时,仍满足上式.
数列的通项公式为().
方法二:
由题设得
时,.
.
时,也满足上式.
所以的通项公式为().
(Ⅱ)由(Ⅰ)得.
,
.
.
,
.
(Ⅲ)证明:由(Ⅰ)知.
若,
则.
,().
由对任意成立,知.
下证,用反证法.
方法一:假设.由函数的函数图象知,当趋于无穷大时,趋于无穷大.
不能对恒成立,导致矛盾.
,
.
方法二:假设,,,
即()恒成立(*)
为常数,式对不能恒成立,导致矛盾..
.
22.本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识.考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力.本小题满分14分.
解:(Ⅰ)由题意得:
椭圆的方程为.
(Ⅱ)方法一:
由(I)知,是椭圆的左焦点,离心率,
设为椭圆的左准线,则:.
作于,于,与轴交于点(如图).
点在椭圆上,
.
同理.
.
方法二:
当时,记,则,
将其代入方程.
得.
设,则是此二次方程的两个根.
,.
. ①
,代入①式得. ②
当时,仍满足②式.
.
(Ⅲ)设直线的倾斜角为,由于,由(Ⅱ)可得,
.
.
当或时,取得最小值.
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第(19)题图
P
Q
O
M
D
C
B
A
z
y
x
P
第(19)题图
O
M
D
C
B
A
第(22)题图
F1
E
H
B1
A1
O
D
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A
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