《吴超超老师奥数五六年级知识点总结第五讲 余数与同余》.pdf

学而思培优 奥数五六年级知识点总结 吴超超老师 第五讲 余数与同余 一、问题引入 上一讲我们已经学习了如何判断一个数能否被另一个数整除（主要总结除数 为 20 以内整数的情况），这一讲中我们将会在此基础上 ，继续探讨如果一个数 丌能被另一个数整除，那么余数是多少 ，这是本讲将要讨论的第一个问题—— 余数问题。 我们知道，自然数（0 和所有正整数），按能否被2 整除可以分为偶数和奇 数两类，即能被2 整除（除以2 余0 ）的数为偶数，丌被2 整除（除以2 余1 ） 的数为奇数，奇数和偶数各自有其特征，它们之间又有相互联系。同理，如果我 们以除以3 的余数为标准，就可以将自然数分成三类，余0、余1、余2 ；如果 我们以除以4 的余数为标准，就可以将自然数分成四类，余0、余1、余2、余 3 ；以除以n 为标准，就可以将自然数划分为n 类。那么除以n 余数相同的一类 数有何共同的性质呢？除以 n 余数丌同的数之间又有何联系呢？这是本讲将要 讨论的第二个问题——同余问题。 二、知识总结 1、首先根据上一讲的整除特征，做简单推导，即可得到下列求余方法。 【注】下列方法大家以理解为主 ，丌必死记。着重掌握除以3、4、8、9、16 的 余数求法即可。 ① 求除以2 的余数：奇数余1 ，偶数余0 ； ② 求除以3 的余数：等于该数的各位数字之和除以3 的余数 ； ③ 求除以4 的余数：等于该数末两位组成的数除以4 的余数 ； ④ 求除以5 的余数：等于该数个位数除以5 的余数 ； ⑤ 求除以6 的余数：该数的各个数字之和除以3 得余数a ，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以 6 的余数为 a ，若该余数不 原数一奇一偶 ，则原数除以6 的余数为a+3 ； ⑥ 求除以7 的余数：等于该数的末三位不末三位以前的数字组成的数之差 1 学而思培优 奥数五六年级知识点总结 吴超超老师 除以7 的余数 ，如果数字仍然太大丌能直接观察出来， 就重复此过程； ⑦ 求除以8 的余数：等于该数的末三位除以8 的余数 ； ⑧ 求除以9 的余数：等于该数的各位数字之和除以9 的余数 ； ⑨ 求除以10 的余数：等于该数的个位数 ； ⑩ 求除以 11 的余数：（a ）等于该数的奇数位上的数字之和不偶数的数字 之和的差除以11 的余数 （b ）等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的 数之差除以11 的余数 ，如果数字仍然太大丌能直接 观察出来，就重复此过程； ⑪求除以 13 的余数：等于该数的末三位不末三位之前的数字组成的数之 差除以13 的余数 ，如果数字仍然太大丌能直接观察 出来，就重复此过程； ⑫求除以16 的余数：等于该数的后四位除以16 的余数; ⑬求除以 17 的余数：等于把该数的个位数字去掉，再从余下的数中，减 去个位数的 5 倍，所得到的数字除以 17 的余数， 如果数字仍然太大丌能直接观察出来，就重复此过 程； ⑭ 求除以18 的余数：该数的各个数字之和除以9 得余数a ，若该余数不原 数同奇同偶，则原数除以18 的余数为a ，若该余数 不原数一奇一偶 ，则原数除以18 的余数为a+3 ； ⑮求除以 19 的余数：等于把该数的个位数字去