《小学数学奥数方法讲义40讲(四)》.doc

第三十一分解质因数法通过把一个合数分解为两个或两个以上质因数，来解答应用题的解题方法叫做分解质因数法。 分解质因数的方法在求最大公约数和最小公倍数时有用，在学习有理数的运算、因式分解、解方程等方面也有广泛的应用。分解质因数的方法还可为一些数学问题提供新颖的解法，有益于开辟解题思路，启迪创造性思维。 例1 一块正方体木块，体积是1331立方厘米。这块正方体木块的棱长是多少厘米？（适于六年级程度） 解：把1331分解质因数： 1331=11×11×11 答：这块正方体木块的棱长是11厘米。 例2 一个数的平方等于324，求这个数。（适于六年级程度） 解：把324分解质因数： 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：这个数是18。例3 相邻两个自然数的最小公倍数是462，求这两个数。（适于六年级程度） 解：把462分解质因数： 462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：这两个数是21和22。 *例4 ABC×D=1673，在这个乘法算式中，A、B、C、D代表不同的数字，ABC是一个三位数。求ABC代表什么数？（适于六年级程度） 解：因为ABC×D=1673，ABC是一个三位数，所以可把1673分解质因数，然后把质因数组合成一个三位数与另一个数相乘的形式，这个三位数就是ABC所代表的数。 1673=239×7 答：ABC代表239。 例5 一块正方形田地，面积是2304平方米，这块田地的周长是多少米？（适于六年级程度） 解：先把2304分解质因数，并把分解后所得的质因数分成积相同的两组质因数，每组质因数的积就是正方形的边长。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3 =（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3） =48×48 正方形的边长是48米。 这块田地的周长是： 48×4=192（米） 答略。 *例6 有3250个桔子，平均分给一个幼儿园的小朋友，剩下10个。已知每一名小朋友分得的桔子数接近40个。求这个幼儿园有多少名小朋友？（适于六年级程度） 解：3250-10=3240（个） 把3240分解质因数： 3240=23×34×5 接近40的数有36、37、38、39 这些数中36=22×32，所以只有36是3240的约数。 23×34×5÷（22×32） =2×32×5 =90 答：这个幼儿园有90名小朋友。 *例7 105的约数共有几个？（适于六年级程度） 解：求一个给定的自然数的约数的个数，可先将这个数分解质因数，然后按一个质数、两个质数、三个质数的乘积……逐一由小到大写出，再求出它的个数即可。 因为，105=3×5×7， 所以，含有一个质数的约数有1、3、5、7共4个； 含有两个质数的乘积的约数有3×5、3×7、5×7共3个； 含有三个质数的乘积的约数有3×5×7共1个。 所以，105的约数共有4+3+1=8个。 答略。 *例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91这九个数平均分成三组，使每组三个数的乘积都相等。这三组数分别是多少？（适于六年级程度） 解：将这九个数分别分解质因数： 15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×13 观察上面九个数的质因数，不难看出，九个数的质因数中共有六个2，三个3，三个5，三个7，三个11，三个13，这样每组中三个数应包括的质因数有两个2，一个3，一个5，一个7，一个11和一个13。 由以上观察分析可得这三组数分别是： 15、52和77； 22、30和91； 35、39和44。 答略。 *例9 有四个学生，他们的年龄恰好一个比一个大一岁，他们的年龄数相乘的积是5040。四个学生的年龄分别是几岁？（适于六年级程度） 解：把5040分解质因数： 5040=2×2×2×2×3×3×5×7 由于四个学生的年龄一个比一个大1岁，所以他们的年龄数就是四个连续自然数。用八个质因数表示四个连续自然数是： 7，2×2×2，3×3，2×5 即四个学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁、10岁。 答略。 *例10 在等式35×（??? ）×81×27=7×18×（??? ）×162的两个括号中，填上适当的最小的数。（适于六年级程度） 解：将已知等式的两边分解质因数，得： 5×37×7×（??? ）=22×36×7×（??? ） 把上面的等式化简，得： 15×（??? ）=4×（??? ） 所以，在左边的括号内填4，在右边的括号内填15。 15×（4）=4×（15） 答略。 *例11 把84名学生分成人数相等的小组（每组最少2人），一共有几种分法？（适于六年级程度） 解：把84分解质因数： 84=2×2×3×7 除