《数学分析三大基本思想之逼近》.pdf

本文由 SCIbird 排版整理 数学分析三大基本思想之逼近 SCIbird 说明：鉴于笔者时间和精力有限，文章小错误难免。因此笔者建议读者最好将文章中的结 论动手推导一遍，相信必有收获。光看不练，等于白看。 从本章开始，计划用三篇文章来介绍数学分析中的三大基本思想，即逼近、 变换和分解。 对数学分析普遍的看法是，上手容易，难以精通，易学难精。除了数学分析 科目本身博大精深外（想想数分后续科目复变、实变、ODE 和 PDE ），造成这 种现象的原因之一是数学分析中的技巧特别多，初步统计包括逼近 （放缩和夹 逼）、变换 （等价无穷小和不定积分换元）、分解 （级数和累次积分）、反演、递 推、RMI 原理、对称、引入参变量（收敛因子）、极端法、归纳法、构造法和计 算两次法等等。这些方法技巧，本身也是宝贵的数学思想，它们分散在数学分 析的若干定理和经典习题当中，单独拿出来都能写一篇文章。这方面读者可以 参考谢惠民的《数学分析习题课讲义》一书，写得很全面。 但凡事大都有主要矛盾，学数学分析也应该抓主要思想。根据笔者这些年对 数学分析的体会，感觉有三大基本思想是数学分析的核心，逼近、变换和分解。 围绕微分、积分和级数这三大主题，展开上述三大基本思想，构成了数学分析 的主干。不论是初学者，还是重温者，抓住上面的主干，就有了方向。本章先 介绍数学分析第一大基本思想：逼近。 数学分析处理的对象涉及无穷，因而必须考虑极限。而如何严格描述极限 过程呢？为此，引入了ε−δ语言（相当于公理），所讨论的极限，即ε−δ意义 下的极限。本文所讨论的逼近，也是ε−δ意义下的逼近。出于对几何直观的偏 爱，笔者更喜欢用xn →x0 （箭头）表示逼近过程，而不是用| xn −x0 | ε. 谈及分析中的逼近，免不了涉及不等式，这也是分析难学的原因之一。毕 竟，不等式比等式难处理多了，而且经常要分段估计（如三段法）。逼近是一种 重要的思想，用简单的近似复杂的，用熟悉的近似陌生的，这种思想绝非数学 独有。 本文由 SCIbird 排版整理 回想极限的定义、连续的定义、定积分的定义，都体现了数学中的逼近思 想。当然，极限和连续可以用拓扑的方法定义，但失去了直观性。学数学分析 还是尽量采用直观的方法为好，至少在水平达到一定程度之前如此。 逼近的常见技巧是放缩和夹逼，方法的框架很简单，但具体应用时需要与 具体问题相结合。本文重点介绍逼近的思想在数学分析中的体现，下面用两个 例子来说明。 第一个例子：闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近。 这是魏尔斯特拉斯的多项式逼近连续函数定理，学过数分的人都知道。多数 教材对这个定理的证明采用伯恩斯坦多项式的构造方法。这里我们不去探讨证 明过程，重点说明一个有趣的数学证明思路，想法来自概率论。考虑独立重复 的伯努利实验，它有两个结果A , B ，出现结果A 的概率为x ，出现结果B 的概 率为1−x . 则n 次独立重复实验中，恰好出现k 次的结果A 的概率为 k k n−k P (k) =C x (1−x) n n 显然，ΣP (i) =1 . 这种概率分布也叫二项分布。固定n 和x 不动，将P (k) n n 视作变量k 的函数。这个函数在nx （不一定是整数）附近有一尖峰，在两侧迅 速递减。于是直观上可以设想，对这样的nx ≈k （以下默认），P (k) 比较接近 n 于 1 （在和式ΣP (i) =1 中权重较大）。因此，下面的加权逼近想法就自然了： n