《步尚全泛函分析习题答案提示》.pdf

泛函分析基础 第四章 赋范空间中的基本定理 p (0) 0 0 1. 设 是赋范空间 上的次线性泛函，满足 ，且在 处连续。 p X 求证： 是连续映射。 p 证明：由 在0 处连续，且满足p (0) 0 可得： p  0,  0 || x || ||x  0 || x || p (x)p (0) || || p(x) || 使得满足 的 都有 。 h || h || || p (h) || 从而 满足 则 x  0, x X z x h X || z x || ||h || x 任取 令 ，且满足 ，由 是 的 p 次线性泛函可以得到： p (h)  p(xh) p(x)  p(x) p(h) p(x) p(h) 即|| p (x h) p (h) || max{|| p(h) ||,|| p(h) ||} 注意到||h ||,|| h || 从而|| p (h) ||,|| p(h) || 即得到|| p (x h) p (x) || x x 即 在 处连续，由 的任意性可知， 处处连续，为连续映射。 p p 2. 设 为线性空间，p :X  使得任取x , y X ,  ，有 X p (x y)  p(x) p(y),p( x) |  | p(x) 求证： 是 上的半范数 p X 证明：取=0  ，则由条件p ( x) |  | p(x) 得到p (0) 0 。由 是线 X 性空间，其中存在零元和负元。任取x ,x X ,x  0 则有： 0 p (0) p(xx)  p (x) p(x) p(x) p(x) 2p (x) 即p (x)  0 从而得证半范数的三个条件。即p 是X 上的半范数。 3 3. 设a ,a  固定，考虑 的线性子空间 1 2 Z {(x ,x ,x ) 3 : x 0} 1 2 3 3 f 3 及 上的线性泛函f (x ,x ,x ) a x a x 。求出所有 到 上的线性 Z 1 2 3 1 1 2 2