《西安交通大学硕士研究生2005年入学数学分析试题》.doc

西安交通大学硕士研究生2005年入学考试《数学分析》试题 叙述下列概念或命题(20分): ⅰ函数在处可微; ⅱ以为瑕点的瑕积分收敛的Cauchy准则; ⅲ极限不存在的Cauchy准则; ⅳ函数项级数在上收敛但非一致收敛的Cauchy准则. 解: ⅰ定义:设函数在的某邻域有定义.若 , 其中是与无关的常数,.则称函数在处可微分, 称为在处的微分,记为. ⅱ定理(Cauchy准则):以为瑕点的瑕积分收敛,,使得当时,有. ⅲ定理(Cauchy准则):极限不存在,,与,使得. ⅳ定理(Cauchy准则):函数项级数在上收敛但非一致收敛, ,,,,使得. 以下四题(第2～5题)每题10分 证明. 证明:因为(不妨设),有 , 又因,所以对上述,,使得当时,有. 因此当时,有,所以. 或由于 因为,,，所以 ,因为,,，所以 . 因此,.又因, 所以. 设在开区间内可导(导数有穷),证明的导函数在内的任一点不可能发生第一类间断点. 证明: 设,若,.则 , , 因为在处可导,所以,因此,从而, 即在处连续.故导函数在内的任一点不可能发生第一类间断点. 设函数在内可导,且,证明:在内非一致连续. 证明:假如在内一致连续,则,,使得,当时,有.特别对,,使得,当时,有.取,(),则 , 即. (其中). 由于,所以.又因, 故,但这与相矛盾.因此在内非一致连续. 设广义积分收敛,证明:. 证明:ⅰ记,,则,因为收敛,所以,使得当时,有. 由于,关于在上递减且非负,所以根据积分第二中值定理知:当时,,其中. 因此当时, ,有. 故在上一致收敛. ⅱ因为在上一致收敛, 在上一致收敛,所以在上一致收敛. ⅲ,因为在上一致收敛.,使得当时, ,有.特别,有成立. 由于在上可积,因此在上有界,即,使得,有.又因,所以对,使得当时,有. 从而当时,有 , 根据极限的定义知,即. 以下六题(第6～11题)每题15分 设在内连续,且.证明:,, 且,使得. 证明:ⅰ因为,所以, 且,使得. ⅱ因为,所以, 且,使得. ⅲ.因为,,所以对于, , 使得当时,有与同时成立. 即当时,有. 由于函数在区间或上连续,且,根据连续函数的介值性知或,使得,从而.又因为,,所以. 设,ⅰ〉求的定义域;ⅱ〉证明在其定义域内处处连续;ⅲ证明在其定义域内处处可导. 证明:ⅰ由于级数当时收敛, 当时发散,所以函数的定义域为. ⅱ,取,则.因为当时,有,而级数收敛,根据判别法知级数在上一致收敛.又因在上连续(),所以在上连续,特别在处连续.由的任意性知在其定义域上连续. ⅲ,取,,,则,,. 因为当时,有, 又因， 所以,使得当时,有,因此当时, ,有. 而级数收敛,根据判别法知级数在上一致收敛.又因在上连续(),所以在上连续可导且.特别在处连可导且.由的任意性知在上连续可导且. 设在处连续,且对任何有.证明:⑴在上连续.⑵. 证明: ⑴因为,即,所以. .因为,又因,所以,因此在处连续,由的任意性得在上连续. ⑵ⅰ证明对任何有理数有. ,因为,即,由数学归纳法知,对任何自然数有.用代替,得,即.设(为自然数),则有. 又因,而,故.从而对任何负有理数()有.因此对任何有理数有. ⅱ证明对任意无理数有. 取有理数列,使.则由在上连续性及知 . ⅲ由ⅰ和ⅱ知及,有,特别地有. 设函数在半平面内连续,对任意固定的,极限存在,现补充定义.证明:在半平面上连续. 证明:只须证明,在处连续. ,因为,所以,使得当时,有 . 令得. 因此当时,有. 所以在处连续.故在半平面上连续. 设(),为有界闭集,为闭集,且.证明:,其中表示点与的距离. 证明:假如,则根据下确界的定义知:,,使得.这样得点列与,因为为有界闭集,所以存在收敛子列,设,则. 因为, 所以,即. 又因为闭集,所以,从而.但这与矛盾. 计算,其中是由曲线(), ()及所围成的区域. 解:令则可表示为.因此 .