《随机信号分析(第3版)习题及答案》.doc

有四批零件，第一批有2000个零件，其中5%是次品。第二批有500个零件，其中40%是次品。第三批和第四批各有1000个零件，次品约占10%。我们随机地选择一个批次，并随机地取出一个零件。 问所选零件为次品的概率是多少？ 发现次品后，它来自第二批的概率是多少？ 解：（1）用表示第批的所有零件组成的事件，用表示所有次品零件组成的事件。 （2）发现次品后，它来自第二批的概率为， 设随机试验的分布律为 1 2 3 求的概率密度和分布函数，并给出图形。 解： 设随机变量的概率密度函数为，求:(1)系数；（2）其分布函数。 解：（1）由 所以 （2） 所以的分布函数为 若随机变量与的联合分布律为 Y X -1 0 1 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 求：（1）与的联合分布函数与密度函数；（2）与的边缘分布律；（3）的分布律；（4）与的相关系数。（北P181,T3） 解：（1） （2） 的分布律为 的分布律为 （3）的分布律为 （4）因为 则 与的相关系数，可见它们无关。 设随机变量，且相互独立，。 随机变量的联合概率密度； 随机变量与是否相互独立？ 解：（1）随机变量的联合概率密度为 由反函数 ，， （2）由于, 所以随机变量与相互独立。 已知对随机变量与，有，，，，，又设，，试求，，，和。 解：首先， ， 。 又因为。于是 ， 已知随机变量服从上的均匀分布。随机变量服从上的均匀分布，试求 ； 解：（1）对有， （2） 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目服从泊松分布。进舱后每个粒子造成损坏的概率为p，彼此独立。求：造成损坏的粒子平均数目。（北P101,T10） 解：每个粒子是否造成损坏用表示 造成损坏的粒子数，于是 可合理地认为和是独立的，于是 随机变量彼此独立；且特征函数分别为，求下列随机变量的特征函数： （1）； （2）； （3）； （4）； 解：（1） （2）同（1）， （3） （4） 随机变量X具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。 （1）； （2）； （3）； （4）； 解：（1） （2） （3）利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布， 。 （4），利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布， , , 。 利用傅立叶变换推导均匀分布的特征函数。 解：由于是宽度为，高度为，中心在处的矩形函数。其傅立叶变换为 设有高斯随机变量，试利用随机变量的矩发生特性证明： 解：特征函数为，由矩发生性质， 掷一枚硬币定义一个随机过程： 设“出现正面”和“出现反面”的概率相等。试求： （1）的一维分布函数，； （2）的二维分布函数； （3）画出上述分布函数的图形。 2.3 解： （1） X(0.5) 0 1 P 0.5 0.5 X(1) -1 2 P 0.5 0.5 一维分布为: (2) X(1) X(0.5) -1 2 0 0.5 0 1 0 0.5 二维分布函数为 假定二进制数据序列{B(n), n=1, 2, 3,….}是伯努利随机序列，其每一位数据对应随机变量B(n)，并有概率P[B(n)=0]=0.2和 P[B(n)=1]=0.8。试问， （1）连续4位构成的串为{1011}的概率是多少？ （2）连续4位构成的串的平均串是什么？ （3）连续4位构成的串中，概率最大的是什么？ （4）该序列是可预测的吗？如果见到10111后，下一位可能是什么？ 2.4解： 解：（1）由题已知B(n,s)是贝努里随机序列，即B(n,s)为独立的二进制随机数据序列，利用其独立性可知所求概率为其分别概率之积，与数据是否连续并无关系，所以有： （2）设连续4位数据构成的串为B(n)，B(n+1)，B(n+2)，B(n+3)，n=1, 2, 3,…. 其中B(n)为离散随机变量，由题意可知，它们是相互独立，而且同分布的。所以有： 串（4bit数据）为：，其矩特性为： 因为随机变量的矩为： 均值： 方差： 所以随机变量的矩为： 均值： 方差： 如果将4bit串看作是一个随机向量，则随机向量的均值和方差为： 串平均： 串方差： （3）因为有P[B(n) = 0] = 0.2 ，P[B(n) = 1] = 0.8 ，P[B(n) = 1] P[B(n) = 0] 可知出现概率最大的二进制数据为B(n) = 1 ，又由独立性可得，