《高三数学文科平面向量总结第五章》.doc

高三数学文科平面向量 知识分析： 1. 向量的有关概念 定义既有大小又有方向的量叫做向量（自由向量） 记作： 或 表示： 有向线段 向量长度（模） 单位向量： （与同向的） 相等向量： 共线向量： 若，则与共线（平行）（唯一） 相反向量： 的相反向量 加法： 减法： 实数与向量的积： 数量积： 向量垂直： 非空向量 2. 向量的加法与减法 （1）加法法则：三角形法则与平行四边形法则 三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点相同 （2）运算性质：，， （3）减法法则：是起点O连接终点指向被减数的向量 （4）常用结论： ； ； 3. 实数与向量的积 （1）定义： ① 时，与同向，② 时，与反向，③ 时，。 （2）运算律：① ② ③ ④ （3）有且只有一个实数，使 注：此条件应用非常广泛，是证明三点共线的重要依据。 （4）平面向量的基本定理 为一组基底，平面内任一向量，有且只有一对实数，使， （5）几个重要结论 ① 已知，，C是A、B中点，则 ② 以原点为起点的三个向量的终点A、B、C在同一条直线上的充要条件是，其中， 4. 线段的定比分点 （1）定义：设是直线上的两点，点P是上不同于的任意一点，则存在唯一实数，使，叫做P分所成的比 （2）设、、且 则 时，P为线段的中点，则 （3）的重心坐标公式 、、、重心 则（坐标表示）或（向量表示） 常见题型：① 求有向线段的比；② 证明三点共线；③ 求的角平分线长；④ 求的内心 5. 平面向量的数量积 （1）两平面向量的夹角 ，， 范围： （2）非零向量与垂直： （3）与的数量积（内积） （非零向量）① 定义： ② 的几何意义：1 等于的长度与在方向上的投影的乘积 2 在上的投影为 （4）的性质，设，是两个非零向量，是单位向量 ① ② ③ 当与同向时，；当与反向时， ④ （实现模与向量内积的相互转化） 两点间距离公式：若、，则 ⑤ （与的夹角） ⑥ ； （5）的运算律 ① ② ③ 注： （a）不满足结合律 （b）数量积的多项式乘积类似实数多项式的乘积 6. 平移 （1）图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一方向，移动同样长度，得到图形，这一过程叫图形的平移。 （2）平移公式 设，按平移，对应点 则有 或 理解：公式中反映的平移可以分解为两步进行。 ① 沿x轴正方向平移h个单位 ② 再沿y轴正方向平移k个单位 （3）点的平移关系 ① 点按平移得 ② 点按平移得，则 ③ 点A按平移，得，则 （4）函数、曲线的平移关系 ① 图形F：按平移，得图形 ； ② 图形F：按平移，得图形 ；则 ③ 图形F按平移得 则F： 【典型例题】 [例1] 设两非零向量和不共线 （1）若，，，求证A、B、D三点共线； （2）试确定，使和共线。 解：（1） 故，所以A、B、D三点共线 （2）和共线，则存在，使 即，又由与为不共线向量，则 且，解得 [例2] 已知， （1）计算和； （2）当为何值时，与共线。 解：（1）由 则， （2）由， 此时与反向共线 [例3] 已知向量， （1）若与共线，求x，y的值； （2）若，求x，y的值。 解：（1）由 （2） [例4] 已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），试求AC与BD交点的坐标。 解：设AC与BD相交于M点，由A、M、C三点共线，设，则 同理 故 由（2）×2+（1）得 故，即AC与BD相交于M（6，4） [例5] 在中，已知，，，过A作AD交BC于D，若AD把的面积分成两部分，求D点坐标。 解：或 由定比分点公式，有， 故，，即 或，，即 一. 选择题 1. 已知，，又为第三象限，则的值为（ ） A. B. C. D. 0 2. ，，，且，则（ ） A. 5 B. C. D. 1 3. ，，三点共线，则（ ） A. B. C. D. 13 4. 已知，，若线段与y轴交于点M，则M分所成的比为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 已知，，且，则锐角等于（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知关于点的对称点是，则点到原点的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 二. 填空题 7. 的重心是G，CA中点为M，且A、M、G三点坐标分别为（6，6），（7，4），，则 。 8. 平行四边形ABCD中，已知顶点，B（3，1），对角线AC与BD交于点