随机偏微分方程与信用风险的若干问题研究.pdf

摘要 摘要 本文主要讨论两个问题，前三章讨论随机偏微分方程(简称SPDE)，后两章 研究信用风险模型，其中又以信用违约互换(简称CDS)为主要研究对象。 第一章的主要研究对象是随机波动方程。在1．1节中，我们给出了一些充分条 件使得这类被Q．维纳过程扰动的强衰减性波动方程的局部解以正概率或者在L2 意义下爆炸。其中，能量不等式(Lyapunov泛函)在证明全局解存在时起了关键 作用。由于SPDE的弱解不能直接使用It6公式，但是这一困难可以通过构造无穷 维随机微分方程的一列强解去逼近该方程的弱解而得到解决。在本文中，我们通 过这样的构造得到一个局部解，并且证明它在有限时间内以正概率或者是在L2意 义下爆炸。 在空间维数为2的情况下，算子是一A的格林核虽然仍是一个函数，但是却 不再是L2可积。因此，如果该方程仍用空时白噪声去扰动，那么在Walsh的理论体 系下不能定义该方程的解。因此，我们考虑一种更广义的跟空间相关的噪声去驱 动二维波动方程。同时，为了刻画过程的自相似性和长时间相依性，在1．2节中， 我们考虑时间上是分式的而且具有非退化的空间协变差的噪声，证明了在该类噪 声驱动下的随机波动方程具有过程值的解，并且得到了此解的H61der连续性及相 应阶数。 在第二章中，我们讨论几类高阶SPDE。在2．1节中，我们首先研究了一类四 阶方程，这个方程可以看成是二阶随机Anderson模型的高阶形式。当方程的空间 维数d≤3时，用Walsh的鞅方法即可定义该四阶方程的过程值解，但是在空间维 数d=4，5时，为了得到方程的过程值解，需要对驱动该方程的随机噪声进行空 间修正。我们得到了在空间维数小于等于5时该方程在L2(Q)空间中的Lyapunov估 计，并迸一步得到了解的有限混沌展开的收敛率。 另外一个典型的高阶方程是随机Cahn—Hilliard方程，该方程描述了一些重要 的两相位系统的定性特征，例如当研究材料快速冷却时显示的一种快速分离的相 位系统。近年来，这个方程在材料科学的研究中变得越来越重要。然而，在实际研 究中相位系统的进化往往是不确定性的。因此用随机噪声扰动的Cahn．Hilliard方程 更能确切描述相位系统的进化过程。在2．2节中，我们考虑带有小扰动的随机Cahn． VⅡ 摘要 HiUiard方程，并且证明了该方程解的概率分布的大偏差原理。在证明过程中，采 我们的结果。 在第三章中，我们研究分式噪声驱动的随机热方程的非参数估计。当扰动噪 声的协变差矩阵有某些特定形式时，该偏微分方程可以转化为一列由分式布朗运 动驱动的随机微分方程。由此通过分式布朗运动的性质，得到所考虑参数的估计。 文本的后两章主要研究金融数学中的信用风险。随着信用衍生品市场的迅速 一发展，越来越多的公司需要通过市场上的衍生产品交易来管理和转移面临的各方 面信用风险。虽然市场上存在着多种信用衍生产品，但信用违约互换也许是最重 要，同时也是交易量最多的一种。对于一个投资者来说，怎么样的一个投资组合 能带来最大的收益无疑是很重要的。第四章，在简约模型下，我们考虑一个投资 者在投资一个包含信用违约互换合同和一个无风险债券的组合时，如何分配投资 资金使得收益最大化。通过计算，得到了对应的HJB方程，并给出了数值运算结 果。最后的分析得出，信用违约互换是一个很好的信用风险转移工具，但不是一 个很好的专门用来投资的产品。 在最后一章中，我们研究了信用违约互换合同中存在的对手风险。在考虑信 用违约互换定价问题时，对手风险经常被忽略。但是随着金融危机的到来，很多 大投资银行纷纷破产，给投资者带来巨大损失，由此也说明了考虑对手风险的必 要性。我们在简约模型基础上，假设CDS合同上的参考公司和交易对手公司的违 约相关性通过他们的违约强度的相关性来体现。同时还用两个马氏链表示公司所 处的状态，而且这个状态会对他们的违约强度产生影响。目前看来，这是第一次 运用马氏调节的CIR过程来建模公司的违约强度过程。最后我们得到了带有对手 风险的信用违约互换的定价公式，并给出了数值模拟结果。 关键词：随机波动方程；能量不等式；爆炸解；空间相关噪声；过程值解；高阶 等式；非参数估计；分式噪声；信用违约互换；最优组