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物理竞赛练习(三) 1. 质量与半径足够大的光滑水平圆盘以匀角速度ω绕过圆心的竖直轴旋转。（1）质量分别为mA和mB的两个小球A和B，用劲度系数为k、自由长度为L的轻弹簧相连后置于圆盘上，试对所有可能达到的稳定状态计算A、B各自离圆心的距离。（2）A、B、C为三个小球，A、B间及B、C间均用劲度系数为k、自由长度为L轻弹簧相连后置于圆盘上，若排除二弹簧重叠的可能性，且设A、B、C的质量分别为mA=2k/ω2、mB=3k/ω2、mC=4k/ω2，试讨论系统达到稳定的可能性。 2.有三个质量相等的粒子，粒子1与粒子2中间夹置一个被充分压缩了的轻质短弹簧，并用轻质细线缚在一起（可视为一个小物体），静止地放置在光滑水平面上，另一个粒子3沿该光滑水平面射向它们。粒子3和粒子1相碰撞并粘连在一起运动。后轻质细线自动崩断，使弹簧释放，三个粒子分成两部分：一部分为粒子2，另一部分为粘在一起的粒子1、3。已知弹簧被充分压缩时的弹性势能是EP。为了使被释放出的粒子2的散射角保持在30o之内，求粒子3入射时的动能应满足什么条件。 3. 设想有一单摆，其摆长L与地球半径R相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T=？已知地球半径为R=6370km。 4. 设想有一单摆，其摆长L与地球半径R相等，试求此单摆在地球表面附近振动时的周期T=？已知地球半径为R=6370km。 5．某空调器按可逆卡诺循环运转，其中的作功装置连续工作时所提供的功率P0。（1）夏天室外温度恒为T1，启动空调器连续工作，最后可将室温降至恒定的T2。室外通过热传导在单位时间内向室内传输的热量正比于(T1-T2)（牛顿冷却定律），比例系数A。试用T1，P0和A来表示T2。（2）当室外温度为30oC时，若这台空调器只有30%的时间处于工作状态，室温可维持在20oC。试问室外温度最高为多少时，用此空调器仍可使室温维持在20°C。（3）冬天，可将空调器吸热、放热反向。试问室外温度最低为多少时，用此空调器可使室温维持在20oC。 6．图42-35是一个滴水起电机的原理图，W是带小孔的水槽，水槽中装有食盐水。食盐水与电极P1间的电压为U0，每滴食盐水的质量为m。盘状电极P2位于P1的下方，相距高度为h，P1、P2之间的电容为C1。当水滴流经P1的狭窄通道时，与P1也形成一个电容器，电容量为C2，C2?C1。C2充电到U0，使小水滴带上正电，然后离开P1的狭窄通道滴下。水滴下落的频率很低，P1、P2之间不会同时有两滴水存在。已知开始时P2不带电， P2上由滴水引起的水位变化可以忽略。试求：(1)电极P2可达到的最高电势；(2)水滴临到达P2之前的速度与该水滴之前落下的水滴滴数之间的关系。 1.解：（1）如图17-136，两小球、必与圆心共线，且分居于圆心O两侧 对A： （1） 对B： （2） 解之，得 、均需要大于零，故 （2）A、B、C小球若不共线，如图17-137所示，因任意两球间弹力沿两球心连线方向，不可能指向圆心O，故不可能出现上述不共线的情况。 如图17-138，设圆心O在A、B之间，以O为坐标原点，则应有 （1） 将已知条件代入，可得 解得 不满足（1）式，所以不可能出现上述的稳定状态。 设O在B、C之间，建立如图17-139所示坐标，则应有 （2） 代入已知条件，简化为 解得 与（2）式矛盾，所以也不存在这样的稳定状态，综上所述，系统不可能出现任何的稳定状态。 2.分析：这量道综合性较强的涉及动量、能量的竞赛题。解答本题要注意三点：（1）依据动量守恒定律分析粒子2散射前后的速度与粒子1、3的速度关系，并画出散射前后的速度矢量图；（2）根据能量关系及速度关系推出弹性势能与粒子动能间关系；（3）由题中给出粒子2的散射范围。建立粒子2散射速度矢量图并分析该图解出结论。 解：建立如图18-41所示的坐标系，以粒子3入射速度为轴正方向。设每个粒子的质量为m，当粒子3与1相碰并粘在一起，而在细线断开之前，三个粒子是一起运动的，若其共同速度为，按照动量守恒定律，有 即也沿方向，其大小为 细线断开后弹簧释放，弹性力做功使弹性势能转化为粒子1、3和粒子2的动能增量，设粒子1、3最后的速度为，粒子2最后的速度为，由机械能守恒和动量守恒定律可知 （2） （3）