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2011年全国高中数学联赛广东省预赛试题 （考试时间：2011年9月3日上午10∶00—11∶20） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上． 1. 设数列满足，则 . 答案：8041. 由题意，，，且 ∴，. ∴， ∴. 2. 不等式对一切成立，则实数a的取值范围为 . 答案：或. 由题意，，即对成立. 令 ∴ 解得. 3. 已知定义在正整数集上的函数满足以下条件： (1) ，其中为正整数； (2) . 则 . 答案：2023066. 在(1)中，令得，. ① 令得，. ② 令，并利用(2)得，. ③ 由③②得，. 代入①得， ∴ . 4. 方程 一共有 个解. 答案：4. 方程的所有解为； 方程的所有解为； 方程的所有解为； 方程的所有解为； 方程的所有解为； 一般地，方程的所有解为 . 5. 设半径为10厘米的球中有一个棱长为整数（厘米）的正方体, 则该正方体的棱长最大等于 . 答案：11厘米. 设正方体的棱长为，因为正方体的对角线长不大于球的直径， 所以，，即， ∴，即. 6. 一个玻璃杯的内壁是由抛物线绕y轴旋转而构成的.请问能接触到杯底的球的半径最大是 . 答案：. 过抛物线顶点与球心作截面，设球的半径为， 由. 由题意，方程没有非零实数解. ∴ 7. 计算：. 答案：. 原式 . 8. 10名学生站成一排，要给每名学生发一顶红色、黄色或者蓝色的帽子，要求每种颜色的帽子都要有，且相邻的两名学生帽子的颜色不同. 则满足要求的发帽子的方法共有 种. 答案：1530. 推广到一般情形，设个学生按题设方式排列的方法数为, 则，，. 从而，. ∴. 二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 1．（本小题满分16分）若是大于2的正整数，求 的最小值. 解：当时， 假设时, 则当时， 因此，所求最小值为. 2．（本小题满分20分）在一条线段上随机独立地取两点，然后从这两点处把线段分成三段.请问得到的三条新线段能构成三角形的概率是多少？ 解：令a, b和c 为一个三角形的三边，则a+bc, b+ca和c+ab.不妨设开始时的线段为区间[0, 1]，并且随机选取的两点为x和y ，其中0xy1. 如下图所示，“成功”的区域是由不等式，和 围成的三角形，面积为，而整个区域的面积为（因为yx）. ∴ . 答：得到的三条新线段能构成三角形的概率是. 3．（本小题满分20分）数列满足，当时有. 证明：对所有整数，有. 证法1： 证明：由已知得，在上式中以代替得到， 两式相减得，此式对所有整数均成立. 设，则 由于，故应在与之间. 由于，故. 因此当时，均有，故，证毕. 证法2： 证明：用归纳法证明加强命题：an ≥ (n ≥ 3(． 1( 当n = 3, 4时， a3 = 1 ≥ , a4 = ≥ ． 结论成立． 2( 假设当n－1时结论成立，当n + 1时， an + 1 = (a0 + a1 + … + an－1( = (1 + a3 + a4 + … + an－1( (1 + + + … + ( = (1 + ( = ． 所以结论对n + 1时亦成立． 由归纳法原理及1(, 2( 可知 an ≥ (n ≥ 3( 成立． 因此an ≥ (n ≥ 3( 成立． 从而本题得证． 第 1 页 共 6 页