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八年级数学竞赛专题相似图形 一、选择题 1．如图1，已知等腰梯形ABCD中，AD=BC=DC=1，AB=AC，那么底边AB的长为（ ） A．; B．; C．或; D．2 (1) (2) (3) 2．如图2，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于D，四边形ABEF，ACGH均为正方形，则 =（ ） A．AB：AC; B．BD：DC; C．; D． 3．如图3，在△ABC中，E是中线AD的中点，则AF：FC=（ ） A．1：2; B．1：3; C．2：3; D．2：5 4．如图4，过△ABC的重心O点（三条中线的交点），作BC的平行线，交AB于D，交AC于E，则△ADE与△ABC的面积比是（ ） A．1：2; B．2：3; C．1：3; D．4：9 (4) (5) (6) 5．如图5，在△ABC中，BD：DC=3：1，G是AD的中点，BG延长线交AC于E，那么BG：GE=（ ） A．3：1; B．4：1; C．6：1; D．7：1 二、填空题 1．如图6，在梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB上一点，且AD∥EF，EF交CD于F，AD=2，BC=4，AE：EB=2：3，则EF=_________。 2．如图7，已知矩形DEFG内接于Rt△ABC，D在AB上，E、F在BC上，G在AC上，∠BAC=90°，AB=6cm，AC=8cm，，则矩形的边长DG=__________。 3．如图8，△ABC中，∠BAC=120°，AD平分∠BAC，若AB=5cm，AC=3cm，则AD=_________。 (7) (8) (9) 4．如图9，矩形在矩形ABCD的形内，各平行边间的距离都是a，且矩ABCD∽矩形，若AB=2cm，则AD=_________。 5．过线段AB的两端作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，连AD、BC交于O，AC=a，BD=b（b a），那么点O到线段AB的距离为__________。 三、解答题 1．如图，已知D、E是AC、AB上的点，BD、CE交于O点，过O点作OF∥CB交AB于F，AD=CD，AE=BE。求证：F是AB的中点。 2．如图，已知△ABC中，AB=AC，D是BC上一点，若∠BDE=∠CDF，E、F分别为AB、AC上的点。求证：. 3．如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，M、N分别为A原中点，MN交AC、BD于E、F。求证：BD·OE=AC·OF. 4．已知△ABC中，AB=AC=2，AB边上的高CH为，正方形DEFG的DE边在BC上，F、G分别在AC、AB上，求：DE的长度。 5．已知，如图，锐角△ABC中，AD⊥BC于D，H为垂心（三角形三条高线的交点）；在AD上有一点P，且∠BPC为直角。求证：. 答案 一、选择题 1．B 2．B 3．A 4．D 5．D 提示： 1．如图，过C作CE∥AD交AB于E。 所以四边形AECD为平行四边形 又因为AD=BC=DC=1， 所以平行四边形AECD为菱形，CD=AE=EC=1， 所以∠B=∠CEB 又因为AB=AC， 所以∠B=∠BCA 所以∠CEB=∠BCA， 因为∠B为公共角， 所以△ABC∽△CBE， 设AB=X，则BE=X-1 所以 所以 因为X0 所以X= 所以AB= 2．因为ABEF，ACGH均为正方形，所以正方形ABEF∽正方形ACGH，它们面积比等于相似比的平方，即 在Rt△ABC中，AD⊥BC， 所以Rt△ABD∽Rt△CBA 所以BD：AB=AB：BC 所以=BD·BC 同理有=CD·BC 所以=BD：CD 3．如图，过D作DG∥BF，交AC于G 因为E为AD中点，EF∥DG， 所以F炽点， 因为D为BC中点，DG∥BF， 所以G为FC中点 所以AF=FG=GC 所以AF：FC=1：2 4．如图，过F作FH∥CG交AB于H，由F为BC中点， 所以BH=HG=BG=AG 因为OG∥FH 所以AO：AF=AG：AH=AG：（AG+HG）=1：（1+）=2：3 因为DE∥BC 所以△ADE∽△ABC，AO：AF=AE：AC 所以 5．如图，作GM∥AC交BC于M 因为G是AD中点， 所以M为DC中点， 所以DM=MC=DC 所以BG：GE=BM：MC，且BD：DC=3：1 所以BD=3DC 所以BG：GE=（BD+DM