数值微分及应用研究.doc

《数值微分及应用研究》 对象描述 《数值微分》描述 数值微分(numerical differentiation)根据函数在一些离散点的函数值，推算它在某点的导数或高阶导数的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一个能够近似代替该函数的较简单的可微函数（如多项式或样条函数等）的相应导数作为能求导数的近似值。例如一些常用的数值微分公式(如两点公式、三点公式等)就是在等距步长情形下用插值多项式的导数作为近似值的。此外，还可以采用待定系数法建立各阶导数的数值微分公式，并且用外推技术来提高所求近似值的精确度。当函数可微性不太好时，利用样条插值进行数值微分要比多项式插值更适宜。如果离散点上的数据有不容忽视的随机误差，应该用曲线拟合代替函数插值，然后用拟合曲线的导数作为所求导数的近似值，这种做法可以起到减少随机误差的作用。数值微分公式还是微分方程数值解法的重要依据。 《数值微分》的相关概念 数值微分就是用函数值的线性组合近似函数在某点的导数值。按导数定义可以简单地用差商近似导数，这样立即得到几种数值微分公式： 其中为一增量，称为步长。后一种数值微分方法称为中点方法，它其实是前两种方法的算术平均，但它的误差阶却由提高到。上面给出的三个公式是很实用的。尤其是中点公式更为常用。但当所求的导数不是节点上的导数，或者要知道导函数，上面的公式就不适用了。所以将重点讨论一些其他算法。 《数值微分》的相关理论 《数值微分》国内研究现状 《数值微分》方法有多少？ 算法研究 一、《数值微分》方法有多少？ 1. 《数值微分》方法有多少？ 在实际问题中，往往会遇到某函数 是用表格表示的,用通常的导数定义无法求导,因此要寻求其他方法近似求导。常用的数值微分方法有:运用差商求数值微分、运用插值函数求数值微分、运用样条插值函数求数值微分、运用数值积分求数值微分…. ⑴运用差商求数值微分 最简单直接的数值微分方法就是用差商代替微商。根据导数定义，在点处 当充分小时，可用差商来逼近导数。 ①向前差商 由Taylor展开因此，有误差 ②向后差商 由Taylor展开因此，有误差 ③中心差商 由Taylor展开 因此，有误差 由误差表达式，h越小，误差越小，但同时舍入误差增大，所以，有个最佳步长。 ⑵插值型数值微分 设函数不应定给出，但知道在节点处的函数值，，如果的阶导数存在，则由Lagrange插值有--------（1） 为的次Lagrange插值多项式，并与有关 对(1)式两边求导,有 由于与有关，将很难确定，但当时，可以求出 --------（2） --------（2） ----------（3） (2)式称为插值型求导公式,(3)式为相应产生的误差 由于公式(2)采取的是n次Lagrange插值多项式,而高次插值会产生Runge现象,因此实际应用中多采用低次插值型求导公式。 ①两点公式 时， 若令，则--------（4） ----------（5） (4)(5)式称为带余项的两点求导公式，由于精度1阶，即 ②三点公式 时 若为等距节点，即，则 ---------（6） ----------（7） ----------（8） (6)(7)(8)式称为带余项的三点求导公式，由于精度2阶，其中(7)式又称为中点公式,其精度稍高在分段求导公式中有着重要的地位。 ③五点公式 时， ---------（9） 组(9)称为带余项的五点求导公式，由于精度4阶 综合考虑上述三种公式,可知五点公式的精度最高，并且当步长h越小时,误差会越小。 ⑶样条求导公式 Lagrange插值型求导公式构造比较简单，但由于误差的原因，只能求出节点处的导数，即若求函数在某一点出的导数，必须将作为节点，其缺点显而易见。 若，根据三次样条插值，有--------（13） 其实不必，也有，即先作的三次样条插值多项式，再求在任意一点的一阶甚至二阶导数，作为在相应点的一阶或二阶数值导数在区间作的三次样条函数 （Hermite插值） 从而 ---------（18） ---------（19） 样条求导公式的优点: 可以求非节点处的1~2阶导数，精度较高 样条求导公式的缺点: 要求预知边界条件，要解三对角方程组，比较复杂 ⑷运用数值积分求数值微分 设函数的导数是，即，则可将函数用定积分的形式表示出来，对, 取得到 若对积分用中矩形公式计算，即得到 这就是在上用中心差商构造的数值微分公式。 ⑸数值微分的外推算法 利用中点公式计算倒数时 对在点做泰勒级数展开有 其中与无关，利用理查森外推对逐次分半，若记，则有公式的计算过程见下表： ↓→① ↓→② ↓→③ ↓→④ ↓→⑤ ↓→⑥