matlab在根轨迹绘制中的应用.docVIP

4．6 利用Matlab绘制系统的根轨迹 本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。如果利用MATLAB工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。 　　MATLAB工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus, rlocfind, sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。 　　例4-13　控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图。 　　解　利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下： 　　% example4-13 　　% 　　num=[1,5]; 　　dun=[1,6,11,6,0]; 　　rlocus(num,dun) 执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。 图4-20 例4-13题根轨迹图 　　利用函数rolcus可画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益 和其它闭环极点。 　例4-14　控制系统的开环传递函数为 绘制系统的根轨迹图，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益 。 　　解　将开环传递函数写为 Matlab程序如下： 　　　% example4-14 　　　% 　　　num=[1]; 　　　den=[0.0002,0.03,1,0]; 　　　rlocus(num,den) 　　　title(‘Root Locus’) 　　　[k,p]=rlocfind(num,den)　　程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其它闭环极点。此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k =???????????????????????????　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　9.6115 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　p =　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-107.7277 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-21.9341 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　-20.3383 　若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即 相等。程序执行后，得到的根轨迹图如图4-21所示。 图4-21 例4-14 系统的根轨迹 例4-15　开环系统的传递函数为??????????????????? 绘制系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。 　　解　Matlab程序如下 　　　　%example 4-15 　　　　% 　　　　num=[1,3]; 　　　　den1=[1,6,5]; 　　　　den=conv(den1,den1); 　　　　figure(1) 　　　　rlocus(num,den) 　　　　[k,p]=rlocfind(num,den) 　　　　% analyzing the stability 　　　　figure(2) 　　　　k=159; 　　　　num1=k*[1,3]; 　　　　den=[1,6,5]; 　　　　den1=conv(den,den); 　　　　[num,den]=cloop(num1,den1,-1); 　　　　impulse(num,den) 　　　　title(‘Impulse Response (k=160)’) 　　　　% analyzing the stability 　　　　figure(3) 　　　　k=161 　　　　num1=k*[1,3]; 　　　　den=[1,6,5]; 　　　　den1=conv(den,den); 　　　　[num,den]=cloop(num1,den1,-1); 　　　　impulse(num,den) 　　由第1段程序得到根轨迹后，将十字线移到根轨迹与虚轴的交点上，可得到在交点处 ，可知，使系统临界稳定的根轨迹增益为 ，根轨迹如图4-15(a)所示。当系统的根轨迹增益 时，系统是稳定的，但系统的阻尼非常小，超调量近似为100％，已接近临界稳定的状态。当 时，系统具有正实部的复数极点，系统不稳定。执行第2、3段程序后，得到图4-22(b)和(c)。由图4-22(b)和(c)可清楚看到，当 时，闭环系统的脉冲响应是收敛的，故系统稳定，而当 时，闭环系统的脉冲响应是发散的，故系统不稳定。 图4-22(a) 例题4-15系统的根轨迹图 例4-16　单位反馈系统的开环传递函数为 试绘制系统的根轨迹，确定当系统的阻尼比 时系统的闭环极点，并分析系统的性能。 　　解? Matlab程序如下：