导函数连续性定理及其推论.pdfVIP

专题研究 …1 0．日出版 z㈣年。月z’……W 0FHENANTEXTILECOLLEGE 7一 JOURNALJoURNA≥淼翥勰淼。‰眦GE 导函数连续性定理及其推论 邓书显1，于红霞2 (1．河南纺织高等专科学校，河南郑州450007；2．河南化工学校，河南郑州450042) 摘 要：本文通过对导数极限定理的进一步论证，推出导函数的极限及其连续性的一个特点，得到了关于 导函数连续性的定理，进而给出了函数可导的一个新的充要条件。 关键词：极限；导数；单侧导数；分界点 中图分类号：0172．1文献标识码：A 文章编号：1008—8385(2001)03—0039一02 本定理说明：若函数的导函数在该点的单侧极 1 导函数的极限及其连续性 限存在，那么函数在该点存在着与单侧极限相等的 关于导数存在问题，一般高等数学书中仅作如 下叙述： o)。 引理y—f(x)在某点x。处可导的充分必要条 件是：f+7(x。)一f一’(x。)。 连续，在(一1，1)内可导，且 由此为我们提供了判断函数在某点不可导的方 1 f7(x)一—=兰，x∈(一1，1) 法，其典型例子如：y—IxI ~／1一x。 对导函数的极限及其连续性，一般数学书上都 没有涉及到，为此我们进行研究推导得出以下结论： 点(一1，一兀／2)处存在垂直于x轴的切线。同理， f(x)在x一1处有垂直于x轴的切线。 定理1设函数f(x)在[a，b]上连续，且在(a， b)内存在有限的导数f7(x)。若其导函数f7(x)在a 点存在右极限(有穷或无穷)，即1imf7(x)一A(或 [一1，1]上连续，在(一1，1)内有 。C)记为为f7(a+o)，则f(x)在a点存在右导数f’+ f’(x)一—三兰=arccosx，x∈(一1，1) ~／1一x2 (a)，且f+7(a)一1imf7(x)。对于b点的左侧有类似 结果。 处存在单侧导数f一7(1)一一1。 证明：考虑[a，a+△x]区间(△xo)，由假设f 由定理1，我们可以得到如下的定理2： (x)在[a，a+△x]上连续，在(a，a+△x)内可导，由 拉格朗日中值定理： 丛生尘掣二巡：尸(以+护△z) x-．x0 ￡土工 f(x)在x。点也可导，且f’(x。)=1imf’(x)。 (001) o—x0 1im