矩阵的范数和条件数.pptVIP

向量的范数 * 理学院 University of Shanghai for Science and Technology College of Science 上海理工大学 例1 考虑下面的两个线性方程组： 其解分别为： 和 在对方程组的解进行误差分析、讨论解方程组的迭代法的收敛性以及讨论方程组的“优劣”时，需要利用向量与矩阵的范数的概念。 定义：设X=(x1,x2,…,xn)T ?Rn ,则定义: (1)向量的2－范数： (2)向量的?－范数： (3)向量的1－范数： 定义 设向量X?Rn ,若X的实值函数N(X)=‖X‖,满足条件: (1)非负性: ‖X‖?0 ,且‖X‖=0的充要条件为X=0; (2)齐次性: ‖kX ‖=|k |‖X‖, k?R； (3)三角不等式:对任意 X,Y?Rn ,都有: ‖X+Y‖?‖X‖+‖Y‖ 则称N(X)=‖X‖为Rn上的向量 X 的范数。 矩阵范数和条件数 定义:设矩阵A?Rn×n ,若A的实值函数N(A)=‖A‖,满足条件: (1)非负性: ‖A‖?0 ,且‖A‖=0当且仅当 A=0; (2)齐次性: ‖?A‖=|? |‖A‖, ??R; (3)三角不等式:‖A+B‖?‖A‖+‖B‖; (4)柯西－施瓦茨不等式:‖AB‖?‖A‖‖B‖. 则称‖A‖为矩阵A的范数. 定义：设向量X?Rn ,矩阵A?Rn×n ,且给定一种向量范数‖X‖p ,则称 为由向量范数派生的矩阵算子范数. 定理：设A=(aij)n×n,则对应于3种常见的向量范数，有3种矩阵范数 列和的最大值 行和的最大值 是ATA的最大特征值，也称为谱范数 矩阵范数的一些性质： ① ② ③ ④ ⑤ 定理： ‖A‖为矩阵A的范数，则易知： 证： x为A的特征向量 #证毕 定义：设A=(aij)n×n,的特征值为?r，定义A的谱半径为： 条件数和病态矩阵 定义：（条件数） 表示A的某种范数 设 ， 引入误差 后 ，解引入误差 ，则 若矩阵A的条件数较大，则称A为病态矩阵。 注意到 因为： 条件数 很小 条件数表示了对误差的放大率 同样，类似有 注：一般判断矩阵是否病态，并不计算A?1，而由经验得出。 ? 行列式很大或很小（如某些行、列近似相关）； ? 元素间相差大数量级，且无规则； ? 主元消去过程中出现小主元； ? 特征值相差大数量级。 精确解为 例 计算cond (A)2 。 A?1 =