分析力学的变分原理.pdfVIP

第七章 分析力学的变分原理 牛顿力学的困难 分析力学——拉格朗日 1788 年出版了 《分析 力学》一书, 建立了拉格朗日方程, 首先有效地解 决了 顿力学存在的困难. 1834年哈密顿建立了哈 密顿正则方程 本课程的重点. 变分原理——将真实运动状态从可能运动状 态中挑选出来. §7-1 约束的分类 广义坐标 分析力学主要研究约束系统的力学问题. 一、 约束方程 由约束物体预先给定的对力学系统运动的限 制叫做约束. 它表现为在运动过程中各质点位置和速度必 须满 一定的关系. n x ,y , z i 设系统由 个质点组成, 以 i i i 表示第 个 质点的坐标, 则约束方程为 f (x ,y ,z ,x ,y ,z ,t) 0 i 1,2,..., n i i i i i i l (1) 长为 的刚性轻杆与小球连接组成球面摆, 建立以悬挂点为坐标原点的直角坐标系Oxyz , 小 球约束方程为 x 2 y 2 z 2 l 2 0 (2) 半径为R 的车轮沿水平直线轨道做无滑滚 动, 约束方程表示为 y 0 c x Rj 0 c 在一定初始条件下积分可得 y R c xc Rj 0 两组约束方程分别表明了地面对车轮的位置和速 度的限制. (3) 一质点始终在球心固定的球面上运动, R R at a 球的半径以 0 的规律增大 ( 为常数, a 0 ). 以球心为原点建立直角坐标系Oxyz , 则质 点的约束方程为 x 2 y 2 z 2 (R at)2 0 0 (4) 在水平冰面上滑行的冰鞋上装有冰刀, 冰面对冰刀横向运动的限制使冰刀质心的速度方 向只能沿着冰刀的纵向. 以冰刀的质心坐标xc ,y c 和转角j 作为冰刀的 位置坐标, 则冰刀的约束方程为 x c cotj y c 上式还可写成 dx c cot jdy c 由于cot j 与y c 的函数关系不能确定, 所以不 可积分. 二、约束的分类 首先根据约束方程的特点进行分类(1—3). 1. 完整约束和非完整约束. 约束方程仅含质点的坐标和时间的约束称为 完整约束. f x y z t ( i , i i , ) 0 , 求导, 得 n f f f f ( xi y i zi ) 0 i 1 xi y i zi t