圆锥曲线极坐标方程的应用.docVIP

以新带旧 螺旋上升 ——“圆锥曲线极坐标方程的应用” 教学实录课 在教学中，教师要充分利用教材中的潜在素材，拓宽学生的知识面，这就要求教师在实践中要为学生的发展留出充分的空间，改变教学方法，创造性地运用教材，充分挖掘知识的内涵，从多角度和多维度去考虑问题，让学生在联想中把知识有机的结合起来，提升学生综合能力和解决问题的能力． 江西省宜丰中学（336300） 熊星飞 一、教学背景 我们知道，解析几何的两个核心是：建立坐标系；在坐标系中建立曲线与方程的关系，从而用代数运算解决几何问题． 而新课标对极坐标（方程）的定位是：讨论一些简单曲线的极坐标方程，学生明白极坐标系的好处，并能实现直角坐标（方程）与极坐标（方程）的相互转化． 对于圆锥曲线在平面直角坐标系中的标准方程，不但要掌握其性质，而且要研究其性质的应用．对曲线的极坐标方程，只停留在掌握一些简单曲线的极坐方程以及与直角坐标（方程）转化的层面上，对于研究解析几何的一种平台，并没有真正使学生明白学习极坐标的好处，这是一种资源的浪费．怎样让学生领会用极坐标表示曲线方程的优越性，让这种平台真正发挥其应有的作用呢？本人在复习完直线与圆锥曲线的位置关系以及圆锥曲线极坐标方程后，通过对圆锥曲线极坐标方程的探究应用，在自己的教学班级中再用一课时与学生探究圆锥曲线极坐标的应用，收到了很好的效果．下列就是圆锥曲线极坐标方程的应用的实录课，欢迎各位同仁提出宝贵意见． 二、承前启后 师：同学们，通过对极坐标的学习，我们知道用极坐标表示一个点，用极坐标表示一条曲线的方程，你们知道用极坐标表示圆锥曲线的优点吗？ 生：不知道 师：这节课我们就来探讨圆锥曲线极坐标方程的应用——板书课题 师：同学们，我们先回忆圆锥曲线统一的极坐标方程？ 生： 师：不错，请问的几何意义是？ 生：焦点到对应准线的距离 师：不错，此方程何时表示椭圆，双曲线、抛物线呢？ 众生： ，方程表示椭圆；，方程表示双曲线；，方程表示抛物线 师：此方程是在怎样建极坐标系得到的方程 生：椭圆是以左焦点为极点，抛物线是以焦点为极点，而双曲线是以右焦点为极点，极轴方向与轴同方向． 师：椭圆还可以其他点为极点建立极坐标系吗？（大约2分钟后） 生：也可以右焦点为极点． 师：得到的极坐标方程还是一样吗？ 生：不一样 师：椭圆以右焦点为极点的极坐标方程又是怎样的呢？怎样推导呢？ 生：与以左焦点为极点同样推导，得到 师：很好．想一想，与左焦点为极点的极坐标方程为何只有一个符号之差，它们之间是否有着某种联系？（思考） 生：以右焦点为极点且极角为点的极径，相当于以左焦点为极点极角为点的极径，因此用替换中的便得．（学生热烈鼓掌） 生：还可以中心为极点建立极坐标系吗？ 师：刚刚这位同学想以中心为极点建坐标系，可以吗？ 生1：应该可以吧． 师：其极坐标方程怎样呢？是否与以左焦点为极点的极坐标方程有关系呢？（思考） 生2：关系不大吧 师：怎样写出极坐标方程呢？ 生3：我知道了 师：有请这位同学 生：可以直接把标准方程转化为极坐标方程 （学生鼓掌） 师：为什么呢？ 众生：因为以原点为极点，极轴与轴同方向，可以用直角坐标与极坐标的转化公式直接转化即可． 师：很好，其实与直角坐标系一样，同一曲线在坐标系中的位置不同，方程也不同，极坐标也不例外． 以其他点为极点的圆锥曲线极坐标方程，请同学们课后去探讨，本节课我们只探讨圆锥曲线统一的极坐标方程的应用 三、引入恰当练习，为课例作铺垫 写出下列圆锥曲线统一的极坐标方程 （1），（2） （3分钟后） 生：（1）∵，，∴以左焦点为极点的极坐标方程为； （2）∵，，∴以焦点为极点的极坐标方程为； 师：对于椭圆，写出左右顶点的极坐标 生：左顶点为，右顶点为 师：为什么呢？ 生：右顶点对应点的极角为，因此只需令，得便右顶点的极径，即右顶点的极坐标为，同理可得左顶点的极坐标为 师：很好，椭圆上极角为的点对应的极径呢？ 生： 师：很好，过左焦点，倾斜角为的弦的长度呢？ 生：可以看作是极角为的极径与极角为的极径之和 师：很好，一般地，圆锥曲线倾斜角为焦点弦的长为…… 生： 师：大家是否感觉到极坐标方程的优越性呢？ （学生鼓掌） 师：特别地，把或代入得到的是…… 生：长轴的长，即的值． 四、给出典型例题 引导学生探究 例题1：（08年海南卷）过椭圆的焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，求的面积． 师：下面请同学们展示一下自己的解法，同时请你说出你的思路和方法． 生：我是把直线方程（点斜式）和椭圆方程联立，用弦长公式可以求出线段AB的长度作为三角形的底边，原点O到直线的距离作为三角形的高求的面积． 师：他说得好不好呀？ 生：好！ 师：他用的方法是平面解析几何中常用的方法——由弦长公式求圆锥曲线的弦长 师：此