MATLAB实验二 定积分的模拟计算.ppt

数学实验 实验二 定积分的近似计算 问题背景和实验目的 矩形法 定积分的定义： 矩形法 定积分的近似： 左点法、右点法和中点法 矩形法举例 矩形法举例 定积分几何意义 梯形法 梯形法 梯形法举例 抛物线法 抛物线法 抛物线法 抛物线法 抛物线法 Matlab 计算定积分函数介绍 梯形法：trapz trapz 举例 抛物线法 quad 举例 二重积分的计算 抛物线法计算二重积分： dblquad dblquad 举例 dblquad 举例 符号积分 int 举例 int 举例 其它相关函数 数值实验 数值实验 上机作业 本文观看结束！！！ 谢 谢 欣 赏！ * * 实验二、定积分的近似计算 定积分计算的基本公式是牛顿－莱布尼兹公式。但当被积函数的原函数不知道时，如何计算？这时就需要利用近似计算。特别是在许多实际应用中，被积函数甚至没有解析表达式，而是一条实验记录曲线，或一组离散的采样值，此时只能用近似方法计算定积分。 本实验主要研究定积分的三种近似计算算法：矩形法、梯形法和抛物线法。同时介绍 Matlab 计算定积分的相关函数。 实验二、定积分的近似计算 n 充分大，?x 充分小 通常我们取 左点法 右点法 中点法 点 可以任意选取，常见的取法有： 左端点 ，右端点 和中点 。 步长 节点 右点法： 中点法： 左点法： 相应的 Matlab 程序见 fuluA.m 解： == h =1/100=0.01, xi = i*h, a=0, b=1, n=100 例：用不同的矩形法计算下面的定积分 ( 取 n=100 )， 并比较这三种方法的相对误差。 左点法： 右点法： 中点法： (i = 0,1,2,...,100) 理论值： 左点法相对误差： 误差分析 右点法相对误差： 中点法相对误差： 不同的方法有不同的计算精度 有没有更好的近似计算定积分的方法 ? 曲边小梯形的面积可以由直边小梯形的面积来近似 整个曲边梯形的面积： 如果我们 n 等分区间 [a,b]，即令： 则 == 梯形公式 梯形公式与中点公式有什么区别 ? Matlab 程序见 fuluB.m 解： == 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差 a=0, b=1, n=100, f (x) = 1/( 1+x2 ) == h =1/100=0.01, xi = i*h, yi = f (xi) 相对误差： 2n 等分区间 [a,b] ，得 该直线用抛物线代替，计算精度是否会更好？ 计算每个节点上的函数值： 在区间 [x0, x2] 上，用过以下三点 的抛物线来近似原函数 f (x) 。 设过以上三点的抛物线方程为： 则在区间 [x0, x2] 上，有 y = ? x2 + ? x + ? = p1(x) 同理可得： 相加即得： 整理后可得： 或 辛卜生 (Simpson) 公式 抛物线法公式 Matlab 程序见 fuluC.m == 例：用抛物线法计算下面定积分 ( 取 n=100 )， 并计算相对误差 解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) 相对误差： trapz(x,y)x 为分割点（节点）组成的向量，y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。 Matlab 近似计算定积分的相关函数 前面的做法 例：用梯形法计算下面定积分 ( 取 n=100 解： a=0, b=1, n=100, yi = f (xi) = 1/( 1+xi2 ) x=0:1/100:1; y=1./(1+x.^2); trapz(x, y) trapz函数 trapz(x,1./(1+x.^2)) quad(f,a,b,tol) f = f(x) 为被积函数，[a,b] 为积分区间，tol 为计算精度 将自变量看成是向量 抛物线法：quad 不用自己分割积分区间 可以指定计算精度，若不指定，缺省精度是 10-6 精度越高，函数运行的时间越长 此处的函数 f 是数值形式，应该使用数组运算，即 点运算：.*，./ ，.\ ，.^ 注： 解： quad(1./(1+x.^2),0,1) quad(1./(1+x.^2),0,1,1e-10) quad(1./(1+x.^2),0,1,1e-16) 函数表达式一定要用 单引号 括起来！